Neurčitý integrál
Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky
Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie (v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný nule).
Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych (elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru
$$ \frac{A}{x-a}, \frac{A}{(x-a)^2},\ldots, \frac{A}{(x-a)^n},$$
kde $A,a\in \mathbb{R}$ alebo zlomky tvaru
$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c},\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^2},\ldots,\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n},$$
kde $A,B,b,c\in \mathbb{R}$ a kvadratický trojčlen $x^2+bx+c$ nemá reálne korene, t.j., platí $D=b^2-4c<0$.
Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú následne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov. V nasledujúcej časti demonštrujeme túto metódu na niekoľkých príkladoch.
Príklad 1
Vypočítajte neurčitý integrál$$
\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}
$$
Riešenie
Funkcia $\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$ je rýdzoracionálna, keďže polynóm v čitateli je druhého stupňa a polynóm v menovateli tretieho stupňa.Keďže funkcia $\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$ je rýdzoracionálna, je možné ju rozložiť na súčet rýdzoracionálnych funkcii, teda na súčet parciálnych zlomkov.
V menovateli je polynóm tretieho stupňa, ten je vždy rozložiteľný aspoň na polynóm prvého stupňa a polynóm druhého stupňa. Keďže koreňom polynómu je nula, tak platí
$$x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3).$$
Polynóm druhého stupňa $(x^2+2x-3)$ je ďalej rozložiteľný na polynómy prvého stupňa a to
$$(x^2+2x-3)=(x-1)(x+3).$$
Teda
$$x^3+2x^2-3x=x(x-1)(x+3).$$
Danú rýdzoracionálnu funkciu je možná rozložiť na súčet parciálnych zlomkov, takto
$$\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}=\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}.$$
Zlomky na pravej strane rovnosti upravíme na spoločného menovateľa takto
$$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}=\frac{A(x-1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+3)}=$$
$$\frac{Ax^2+2Ax-3A+Bx^2+3Bx+Cx^2-Cx}{x(x-1)(x+3)}=\frac{(A+B+C)x^2+(3B+2A-C)x-3A}{x(x-1)(x+3)}.$$
Výrazy $$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{(A+B+C)x^2+(3B+2A-C)x-3A}{x(x-1)(x+3)}$$
sa rovnajú vedy, ak sa rovnajú výrazy v čitateli oboch zlomkov. A teda
$$x^2-3=(A+B)x^2+(3B-2A-C)x-3A.$$
Na pravej strane je polynóm druhého stupňa a na ľavaje strane tiež polynóm druhého stupňa. Tie sa rovnajú vtedy, ak platí nasledujúca rovnosť:
$$\begin{array}{rcl}
1&=&A+B+C\\
0&=& 3+2A-C\\
-3&=&-3A
\end{array}
$$
Riešením sústavy lineárnych rovníc je $A=1$, $B=0$ a $C=3$.
Teda
$$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x}+\frac{0}{x-1}+\frac{3}{x+3}.$$
Úlohou je nájsť primitívnu funkciu k funkcii
$$\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$$
teda riešiť integrál
$$\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}.$$
Keďže
$$\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}=\frac{1}{x}+\frac{0}{x-1}+\frac{3}{x+3}$$
platí
$$
\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{0}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{3}{x+3}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{3}{x+3}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\ln{\left|x\right|}+3\ln{\left|x+3\right|}+c.
$$
