Kužeľosečky

Príklad 1

Rozhodnite, či nasledujúca rovnica je analytickým vyjadrením elipsy
$$9x^2+25y^2-54x-100y-44=0.$$

Riešenie

Upravíme

$$
\begin{array}{lcr}
9x^2+25y^2-54x-100y-44&=&0\\
9(x^2-6x)+25(y^2-4y)&=&44\\
9[(x-3)^2-9]+25[(y-2)^2-4]&=&44\\
9(x-3)^2-81+25(y-2)^2-100&=&44\\
9(x-3)^2+25(y-2)^2&=&225\\
\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}&=&1
\end{array}$$

Rovnica  $$\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1$$ je stredová rovnica elipsy so stredom v bode $S=[3,2]$, dĺžkou hlavnej poloosi $a=5$, dĺžkou vedľajšej poloosi $b=3$ a excentricitou $e^2=a^2-b^2$, t.j. $e=4$.

Často sa k popisu elipsy uvádzajú aj súradnice významných bodov kužeľosečky. Pri elipse sú to

• súradnice ohnísk sú $F_1=[3+4,2]$ a $F_2=[3-4,2]$, t.j. $F_1=[7,2]$ a $F_2=[-1,2]$,
• súradnice hlavných vrcholov elipsy sú $A=[3+5,2]$ a $B=[3-5,2]$, t.j. $A=[8,2]$ a $B=[-2,2]$,
• súradnice  vedľajších vrcholov elipsy sú $C=[3,2+3]$ a $D=[3,2-3]$, t.j. $C=[3,5]$ a $D=[3,-1]$.

Súčasťou riešenia je náčrt samotnej elipsy.

Neurčitý integrál 

Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky

Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie (v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný nule).

Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych (elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru
$$ \frac{A}{x-a}, \frac{A}{(x-a)^2},\ldots, \frac{A}{(x-a)^n},$$
kde $A,a\in \mathbb{R}$ alebo zlomky tvaru
$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c},\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^2},\ldots,\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n},$$
kde $A,B,b,c\in \mathbb{R}$ a kvadratický trojčlen $x^2+bx+c$ nemá reálne korene, t.j., platí $D=b^2-4c<0$.

Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú následne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov. V nasledujúcej časti demonštrujeme túto metódu na niekoľkých príkladoch.

 

Príklad 1

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}
$$

 

Riešenie

Funkcia $\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$ je rýdzoracionálna, keďže polynóm v čitateli je druhého stupňa a polynóm v menovateli tretieho stupňa.

Keďže funkcia $\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$ je rýdzoracionálna, je možné ju rozložiť na súčet rýdzoracionálnych funkcii, teda na súčet parciálnych zlomkov.

V menovateli je polynóm tretieho stupňa, ten je vždy rozložiteľný aspoň na polynóm prvého stupňa a polynóm druhého stupňa. Keďže koreňom polynómu je nula, tak platí
$$x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3).$$
Polynóm druhého stupňa $(x^2+2x-3)$ je ďalej rozložiteľný na polynómy prvého stupňa a to
$$(x^2+2x-3)=(x-1)(x+3).$$
Teda 
$$x^3+2x^2-3x=x(x-1)(x+3).$$

 Danú rýdzoracionálnu funkciu je možná rozložiť na súčet parciálnych zlomkov, takto
 $$\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}=\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}.$$
 Zlomky na pravej strane rovnosti upravíme na spoločného menovateľa takto
 $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}=\frac{A(x-1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+3)}=$$
$$\frac{Ax^2+2Ax-3A+Bx^2+3Bx+Cx^2-Cx}{x(x-1)(x+3)}=\frac{(A+B+C)x^2+(3B+2A-C)x-3A}{x(x-1)(x+3)}.$$

Výrazy  $$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{(A+B+C)x^2+(3B+2A-C)x-3A}{x(x-1)(x+3)}$$
sa rovnajú vedy, ak sa rovnajú výrazy v čitateli oboch zlomkov. A teda
$$x^2-3=(A+B)x^2+(3B-2A-C)x-3A.$$
Na pravej strane je polynóm druhého stupňa a na ľavaje strane tiež polynóm druhého stupňa. Tie sa rovnajú vtedy, ak platí nasledujúca rovnosť:
$$\begin{array}{rcl}
 1&=&A+B+C\\
0&=& 3+2A-C\\
-3&=&-3A
\end{array}
$$

Riešením sústavy lineárnych rovníc je $A=1$, $B=0$ a $C=3$.
Teda 
 $$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x}+\frac{0}{x-1}+\frac{3}{x+3}.$$

Úlohou je nájsť primitívnu funkciu  k funkcii
$$\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$$
teda riešiť integrál
$$\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}.$$

Keďže
$$\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}=\frac{1}{x}+\frac{0}{x-1}+\frac{3}{x+3}$$
platí
$$
\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{0}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{3}{x+3}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{3}{x+3}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\ln{\left|x\right|}+3\ln{\left|x+3\right|}+c.
$$