Neurčitý integrál

Príklad 1

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{x\ln x\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie:

Daný integrál výpočítame pomocou metódy per partes.

$$
\int{x\ln x}\ \mathrm{d}x=\int{x\cdot\ln x}\ \mathrm{d}x=\left|\begin{array}{cc} v^{\prime}(x)=x & u(x)=\ln x \\ v(x)=\frac{x^2}{2} & u^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\end{array}\right|=
$$
$$
\frac{x^2}{2}\ln x -\int{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}}\ \mathrm{d}x= \frac{x^2}{2} \ln x-\frac{1}{2}\int{x}\ \mathrm{d}x
= \frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4} + c.
$$

Určitý integrál

Geometrická interpretácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$. Objem telesa $V$, ktoré vznikne rotáciou množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti

$a\leq x\leq b$ a $ g(x)\leq y \leq f(x)$

okolo osi $o_x$ je daný vzťahom
$$
\displaystyle V=\int\limits_a^b{\pi\left(f^2(x)-g^2(x)\right)\ dx}.
$$

Príklad 1

Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi $o_x$ časti roviny ohraničenej krivkami
$$
 y=6x-x^2,  y=0
$$

Riešenie:

Použujeme vzťah na výpočet objemu rotačného telesa rotujúceho okolo osi $x$.
$$
V=\int\limits_a^b{\pi \left(f^2(x)-g^2(x)\right)\ dx}
$$
$$
V=\int\limits_0^6{\pi\left(6x-x^2\right)^2\ dx}=\int\limits_0^6{\pi \left[x\left(6-x\right)\right]^2\ dx}=\int\limits_0^6{\pi \left[x^2\left(6-x\right)^2\right]\ dx}=
$$
$$
\int\limits_0^6{\pi (36x^2-12x^3+x^4)\ dx}= \left[\pi \left(36\frac{x^3}{3}-12\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\right)\right]^6_0=
$$
$$
\left[\pi \left(12x^3-3x^4+\frac{x^5}{5}\right)\right]^6_0=\frac{6^4}{5} \pi
$$