Analytická geometria v 3D
Vzájomná poloha priamok
Príklad 2
Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
$$
Riešenie
Priamky $p$ a $q$ sú dané parametricky. Z tohto
vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí
priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,1,0)$ .
$$
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
$$
Smerový vektor priamky $q$ má súradnice $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ .
Vidíme, že vektor $\vec{s_p}=(1,1,0)$ nie je násobkom vektora $\vec{s_q}=(1,2,-1)$.
Keďže vektory $\vec{s_p}$ a $\vec{s_q}$ sú lineárne nezávislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.
- Ak sú priamky $p$ a $q$ rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je
jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď.
nižšie).
- Ak sú priamky $p$ a $q$ mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod
priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá
riešenie.
Chceme určiť prienik priamok $p$ a $q$. Tento prienik budeme
hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne
porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne
pre jednotlivé súradnice ($x$, $y$ a $z$).
$$\begin{array}{rcl}
2+t&=&s\\
t&=&2s\\
3&=&2-s
\end{array}$$
Sústavu
troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice
a pomocou nich nájdeme riešenie pre $t$ a $s$. Následne toto riešenie
dosadíme za $t$ a $s$ do tretej (nepoužitej) rovnice a ukážeme, či
existuje riešenie.
Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to $s=-1$ a $t=-2$.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice $$2+(-2)=-1$$ dostávame, že $$0=-1,$$ čo nie je pravda.
To znamená, že sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. Teda priamky $p$ a $q$ sú mimobežné.
Ak sú priamky mimobežné je možne určiť ich vzdialenosť.
Iná úloha:
Vypočítajte vzdialenosť mimobežných priamok $p$ a $q$.
$$
p:\begin{cases}
x= 2+t\\
y= t\\
z= 3, t\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
q:\begin{cases}
x= s\\
y= 2s\\
z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
$$
Jednou z priamok preložíme rovinu $\alpha$, ktorá je rovnobežná s druhou priamkou. Tak nech priamka $p$ patrí rovine $\alpha$ a nech rovina $\alpha$ je rovnobežné s priamkou $q$. Následne stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky $q$ a roviny $\alpha$.
Keďže priamka $p$ patrí rovine $\alpha$, jej smerový vektor je jedným zo smerových vektor hľadanej roviny. Priamka $q$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$, tak jej smerový vektor je druhým smerovým vektorom roviny $\alpha$.
Vektorovým súčinom vektorov $\vec{s_p}=(1,1,0)$ a $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ dostaneme normálový vektor roviny $\alpha$.
$$
\vec{n}=
\left|\begin{array}{rrr}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&1&0\\
1&2&-1\\
\end{array} \right|= -\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(-1,1,1)
$$
Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z+d=0$$
Bod $A=[2,0,3]$ patrí priamke $p$ a keďže celá priamka leží v rovine $\alpha$ je tento bod jedným z bodov roviny $\alpha$, teda
$\begin{array}{llr}
A\in \alpha:&& -2+0+3+d&=0 \\
&&d&=-1
\end{array}$
Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z-1=0.$$
Keďže rovina $\alpha$ je rovnobežná s priamkou $q$, stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu tejto priamky od nájdenej roviny $\alpha$. Bod $B$ patrí priamke $q$. Z parametrického vyjadrenia priamky je možné určiť jeho súradnice. Bod $B=[0,0,2]$.
Použije vzťah $$d(M, \alpha)=\frac{|am_1+bm_2+cm_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, $$
kde $(a,b,c)$ sú súradnice normálového vektora roviny $\alpha$ a $M=[m_1,m_2,m_3]$ sú súradnice bodu, ktorého vzdialenosť od roviny $\alpha$ určujeme.
V našom prípade
$$d(B, \alpha)=\frac{|2-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Záver: Priamky $p$ a $q$ sú mimobežné. Ich vzdialenosť je $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
