Neurčitý integrál

Príklad 1

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{x\ln x\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie:

Daný integrál výpočítame pomocou metódy per partes.

$$
\int{x\ln x}\ \mathrm{d}x=\int{x\cdot\ln x}\ \mathrm{d}x=\left|\begin{array}{cc} v^{\prime}(x)=x & u(x)=\ln x \\ v(x)=\frac{x^2}{2} & u^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\end{array}\right|=
$$
$$
\frac{x^2}{2}\ln x -\int{\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}}\ \mathrm{d}x= \frac{x^2}{2} \ln x-\frac{1}{2}\int{x}\ \mathrm{d}x
= \frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4} + c.
$$

Neurčitý integrál 

Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky

Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie (v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný nule).

Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych (elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru
$$ \frac{A}{x-a}, \frac{A}{(x-a)^2},\ldots, \frac{A}{(x-a)^n},$$
kde $A,a\in \mathbb{R}$ alebo zlomky tvaru
$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c},\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^2},\ldots,\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n},$$
kde $A,B,b,c\in \mathbb{R}$ a kvadratický trojčlen $x^2+bx+c$ nemá reálne korene, t.j., platí $D=b^2-4c<0$.

Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú následne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov. V nasledujúcej časti demonštrujeme túto metódu na niekoľkých príkladoch.

 

Príklad 1

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}
$$

 

Riešenie

Funkcia $\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$ je rýdzoracionálna, keďže polynóm v čitateli je druhého stupňa a polynóm v menovateli tretieho stupňa.

Keďže funkcia $\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$ je rýdzoracionálna, je možné ju rozložiť na súčet rýdzoracionálnych funkcii, teda na súčet parciálnych zlomkov.

V menovateli je polynóm tretieho stupňa, ten je vždy rozložiteľný aspoň na polynóm prvého stupňa a polynóm druhého stupňa. Keďže koreňom polynómu je nula, tak platí
$$x^3+2x^2-3x=x(x^2+2x-3).$$
Polynóm druhého stupňa $(x^2+2x-3)$ je ďalej rozložiteľný na polynómy prvého stupňa a to
$$(x^2+2x-3)=(x-1)(x+3).$$
Teda 
$$x^3+2x^2-3x=x(x-1)(x+3).$$

 Danú rýdzoracionálnu funkciu je možná rozložiť na súčet parciálnych zlomkov, takto
 $$\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}=\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}.$$
 Zlomky na pravej strane rovnosti upravíme na spoločného menovateľa takto
 $$\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+3}=\frac{A(x-1)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-1)}{x(x-1)(x+3)}=$$
$$\frac{Ax^2+2Ax-3A+Bx^2+3Bx+Cx^2-Cx}{x(x-1)(x+3)}=\frac{(A+B+C)x^2+(3B+2A-C)x-3A}{x(x-1)(x+3)}.$$

Výrazy  $$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{(A+B+C)x^2+(3B+2A-C)x-3A}{x(x-1)(x+3)}$$
sa rovnajú vedy, ak sa rovnajú výrazy v čitateli oboch zlomkov. A teda
$$x^2-3=(A+B)x^2+(3B-2A-C)x-3A.$$
Na pravej strane je polynóm druhého stupňa a na ľavaje strane tiež polynóm druhého stupňa. Tie sa rovnajú vtedy, ak platí nasledujúca rovnosť:
$$\begin{array}{rcl}
 1&=&A+B+C\\
0&=& 3+2A-C\\
-3&=&-3A
\end{array}
$$

Riešením sústavy lineárnych rovníc je $A=1$, $B=0$ a $C=3$.
Teda 
 $$\frac{x^2-3}{x(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x}+\frac{0}{x-1}+\frac{3}{x+3}.$$

Úlohou je nájsť primitívnu funkciu  k funkcii
$$\displaystyle\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}$$
teda riešiť integrál
$$\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}.$$

Keďže
$$\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}=\frac{1}{x}+\frac{0}{x-1}+\frac{3}{x+3}$$
platí
$$
\int{\frac{x^2-3}{x^3+2x^2-3x}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{0}{x-1}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{3}{x+3}\ \mathrm{d}x}=\int{\frac{1}{x}\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{3}{x+3}\ \mathrm{d}x}=$$
$$\ln{\left|x\right|}+3\ln{\left|x+3\right|}+c.
$$

Neurčitý integrál 

 

Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky

Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie (v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný nule).

Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych (elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru
$$ \frac{A}{x-a}, \frac{A}{(x-a)^2},\ldots, \frac{A}{(x-a)^n},$$
kde $A,a\in \mathbb{R}$ alebo zlomky tvaru
$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c},\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^2},\ldots,\frac{Ax+B}{(x^2+bx+c)^n},$$
kde $A,B,b,c\in \mathbb{R}$ a kvadratický trojčlen $x^2+bx+c$ nemá reálne korene, t.j., platí $D=b^2-4c<0$.

Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú následne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov.

 

Príklad 1

Vypočítajte neurčitý integrál
$$
\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}
$$

Riešenie

Funkcia $\displaystyle\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}$ nie je rýdzoracionálna.

Najprv vydelíme polynóm z čitateľa funkcie polynómom z jej menovateľa. Zvyšok po tomto podiele je už rýdzoracionálnou funkciou.
$$
\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=(2x^3+5x^2+8):(2x^2+7x-15)=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}
$$
$$
\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}=x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}
$$
$$
\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{\left(x-1+\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\right)\ \mathrm{d}x}=
$$
$$
\int{x\ \mathrm{d}x}-\int{1\ \mathrm{d}x}+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}
$$
Funkcia $\displaystyle \frac{22x-7}{2x^2+7x-15}$ je rýdzoracionálna, na výpočet integrálu z tejto funkcie môžeme použiť metódu: rozklad na parciálne zlomky.
$$
\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{22x-7}{(2x-3)(x+5)}=\frac{A}{2x-3}+\frac{B}{x+5}
$$
$$
\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}=\frac{A(x+5)+B(2x-3)}{(2x-3)(x+5)}
$$

$$
 22x-7=A(x+5)+B(2x-3)=(A+2B)x+(5A-3B)
$$
$$
\begin{eqnarray*}
\textrm{koeficient pri} \qquad  x^1; \quad 22&=&A+2B\\
x^0;\quad -7&=&5A-3B\\
\end{eqnarray*}
$$
Riešením sústavy lineárnych rovníc  je $A=4$ a $B=9$.
$$
\int{\frac{2x^3+5x^2+8}{2x^2+7x-15}\ \mathrm{d}x}=\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{22x-7}{2x^2+7x-15}}\ \mathrm{d}x=
$$
$$
\int{x}\ \mathrm{d}x-\int{1}\ \mathrm{d}x+\int{\frac{4}{2x-3}}+\int{\frac{9}{x+5}}\ \mathrm{d}x=
$$
$$
\frac{x^2}{2}-x+2\ln{\left|2x-3\right|}+9\ln{\left|x+5\right|}+c
$$