Určitý integrál

Geometrická interpretácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $⟨a; b⟩$ a platí $g(x) ≤ f(x)$.
Plošný obsah $P$ množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti

$a\leq x\leq b$ a $g(x)\leq y \leq f(x)$

je daný vzťahom
$$\displaystyle P=\int\limits_a^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}.$$

Príklad 2.

Pomocou určitého integrálu vypočítajte obsah trojuholníka $ABC$, ak $A=[0,0]$, $B=[1,1]$ a $C=[3,-1]$.

Riešenie:

Zadanie úlohy na čiastočný náčrt jej riešenia je znázornený na sledujúcom obrázku:

Obsah trojuholníka vypočítame ako súčet obsahov dvoch menších trojuholníkov.
Teda $$P=P_1+P_2.$$

Body $A$ a $B$  patria jednej priamke, aj body $B$ a $C$ patria tiež jednej priamke a nakoniec aj  body $A$  a $C$ patria jednej priamke.

Vieme, že priamka je grafom lineárnej funkcie. 
Predpis takej lineárnej funkcie je $$y=kx+q,$$ kde $k$ a $q$ sú reálne čísla.

Body $A$ a $B$ spĺňajú túto rovnicu a teda platí
$$\begin{array}{rcr} 0&=&0k+q\\ 1&=&1k+q \end{array}$$

Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc je $q=0$ a $k=1$. Teda hľadaný predpis funkcie, ktorej patria body $A$ a $B$ je $y=x$. Označme túto funkciu symbolom $f$.
Teda $$f: y=x.$$

Aj body  $B$ a $C$ ležia na jednej priamke, ktorá je grafom lineárne funkcie. Teda body  $B$ a $C$ spĺňajú rovnicu $y=kx+q$ a  platí
$$\begin{array}{rcr} 1&=&1k+q\\ -1&=&3k+q \end{array}$$

Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc je $q=2$ a $k=-1$. Teda hľadaný predpis funkcie, ktorej patria body $B$ a $C$ je $y=-x+2$. Označme túto funkciu symbolom $g$.
Teda $$g: y=-x+2.$$
A napokon aj body $A$ a $C$ ležia na jednej priamke, teda ich súradnice spĺňajú predpis $y=kx+q$ a platí
$$\begin{array}{rcr} 0&=&0k+q\\ -1&=&3k+q \end{array}$$

Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc je $q=0$ a $k=-\frac{1}{3}$. Teda hľadaný predpis funkcie, ktorej patria body $A$ a $C$ je $y=-\frac{1}{3}x$. Označme túto funkciu symbolom $h$.
Teda $$h: y=-\frac{1}{3}x.$$

Plocha $P_1$ je vytýčená funkciami $f$ a $h$, teda vypočítame ju

$$\displaystyle P_1=\int\limits_a^b{\left(f(x)-h(x)\right)\ dx},$$

teda

$$\displaystyle P_1=\int\limits_0^1{\left(x-\left(-\frac{1}{3}x\right)\right)\ dx}=\int\limits_0^1{\left(x+\frac{1}{3}x\right)\ dx}=\int\limits_0^1{\left(\frac{4x}{3}\right)\ dx}=\left[\frac{2x^2}{3}\right]^1_0=\frac{2}{3}.$$


Plocha $P_2$ je vytýčená funkciami $g$ a $h$, teda vypočítame ju

$$\displaystyle P_2=\int\limits_c^d{\left(g(x)-h(x)\right)\ dx},$$

teda

$$\displaystyle P_2=\int\limits_1^3{\left((-x+2)-\left(-\frac{1}{3}x\right)\right)\ dx}=\int\limits_1^3{\left((-x+2)+\frac{1}{3}x\right)\ dx}=$$

$$\int\limits_1^3{\left(-\frac{2x}{3}+2\right)\ dx}=\left[-\frac{x^2}{3}+2x\right]^3_1=-\frac{9}{3}+6+\frac{1}{3}-2=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.$$

Výsledný obsah trojuholníka ABC sa rovná súčtu obsahov $P_1$ a $P_2$.
Teda $$P=P_1+P_2$$
 čo je $$P=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2.$$