Určitý integrál

Geometrická interpretácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $\left\langle a,b\right\rangle$ a platí $g(x)\leq f(x)$. Objem telesa $V$, ktoré vznikne rotáciou množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti

$a\leq x\leq b$ a $g(x)\leq y \leq f(x)$

okolo osi $o_x$ je daný vzťahom
$$\displaystyle V=\int\limits_a^b{\pi\left(f^2(x)-g^2(x)\right)\ dx}.$$

Príklad 1

Vypočítajte objem telesa, ktoré vznikne rotáciou okolo osi $o_x$ časti roviny ohraničenej krivkami
$$y=6x-x^2,  y=0$$

Riešenie:

Použujeme vzťah na výpočet objemu rotačného telesa rotujúceho okolo osi $x$.
$$V=\int\limits_a^b{\pi \left(f^2(x)-g^2(x)\right)\ dx}$$
$$V=\int\limits_0^6{\pi\left(6x-x^2\right)^2\ dx}=\int\limits_0^6{\pi \left[x\left(6-x\right)\right]^2\ dx}=\int\limits_0^6{\pi \left[x^2\left(6-x\right)^2\right]\ dx}=$$
$$\int\limits_0^6{\pi (36x^2-12x^3+x^4)\ dx}= \left[\pi \left(36\frac{x^3}{3}-12\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}\right)\right]^6_0=$$
$$\left[\pi \left(12x^3-3x^4+\frac{x^5}{5}\right)\right]^6_0=\frac{6^4}{5} \pi$$