Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie rovnice priamky v 3D

Príklad 1

Napíšte parametrické rovnice priamky, ktorá prechádza bodom $A = [1, 2, 3]$ kolmo
na rovinu $\gamma: 5x + y -3z + 2 = 0$.

Riešenie  

Označme hľadanú priamku písmenom $p$. Priamka, ktorá je kolmá na rovinu má smerový vektor rovný normálovemu vektoru roviny, t.j.
$$p\bot\gamma \Rightarrow \vec{s_p}=\vec{n_{\gamma}}.$$
Zo všeobecnej rovnice danej roviny $\gamma: 5x + y -3z + 2 = 0$ zistíme súradnice normálového vektora roviny, t.j. $\vec{n_{\gamma}}=(5,1,-3)$.
Keďže $\vec{n_{\gamma}}=(5,1,-3)=\vec{s_p}$ a bod $A\in p$, tak parametrické rovnice priamky $p$ sú
$$
p:\begin{cases}
x= 1+5t\\
y= 2+t\\
z= 3-3t, t\in\mathrm{R}
\end{cases}
$$

Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie priamky v 3D

Príklad 2

Dané sú dve rôznobežné roviny $\alpha: x-y+z-5=0$ a $\beta: x+2y-7=0$. Nájdite parametrické vyjadrenie priamky $p$, ktorá je priesečnicou daných rovín.

Riešenie:

Zo všeobecných rovníc vieme určiť normálové vektory jednotlivých rovín. Normálový vektor roviny $\alpha$ je $\vec{n_{\alpha}}=(1,-1,1)$ a roviny $\beta$ je $\vec{n_{\beta}}=(1,2,0)$. Keďže priamka $p$ je priesečnicou týchto rovín, jej smerový vektor je kolmý na oba normálové vektory. Jeho súradnice určíme vektorovým súčinom $\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}$.

$$
\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}=
\left|\begin{array}{rrr}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
1&-1&1\\
1&2&0
\end{array} \right|= -2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(-2,1,3)
$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $(-2,1,3)$.
Aby sme mohli napísať parametrické rovnice priamky v 3D potrebujeme zistiť súradnice bodu, ktorý patrí jednej a zároveň druhej rovine.

Nájsť taký bod znamená vyriešiť sústavu dvoch rovníc s troma neznámymi.
$$\begin{array}{ccc}
x-y+z-5&=&0\\
x+2y-7&=&0
\end{array}$$
Táto sústava lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení. Jej riešenia sú v tvare usporiadaných trojíc a predstavujú jednotlivé body patriace priesečnici dvoch rovín, teda priamke $p$. K vyjadreniu parametrických rovníc priamky stačí zistiť súradnice jedného bodu, teda jedno z nekonečne veľa riešení sústavy rovníc.

Označme tento bod písmenom $K$.

Sústava rovníc má jednu voľnú premennú. Nech je to premenná $y$. Zvoľme za $y=0$, potom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi 
$$\begin{array}{ccc}
x+z-5&=&0\\
x-7&=&0
\end{array},$$
ktorá má riešenie $x=7$ a $z=-2$.
Súradnice hľadaného bodu $K=[7,0,-2]$.

Parametrické vyjadrenie priamky $p$ v 3D je
$$
p:\begin{cases}
x= 7-2t\\
y= 0+t\\
z= -2+3t, t\in\mathrm{R}
\end{cases}
$$

Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie priamky v 3D

Príklad 1

Nájdite všeobecné rovnice priamky $p$, ktorej parametrické rovnice sú:
$$
p:\begin{cases}
x= 2-t\\
y= 1+4t\\
z= -3+2t, t\in\mathrm{R}
\end{cases}
$$

Riešenie:

Všeobecná rovnica priamky v priestore (v 3D) neexistuje. Pozor v 2D existujú obe vyjadrenia priamky. 

Priamku je možné v priestore vyjadriť ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín. Práve o takéto vyjadrenie ide, ak je potrebné hľadať všeobecné rovnice priamky v 3D.

Dá sa povedať, že jednu priamku môžeme vyjadriť ako priesečnicu rôznych dvoch rovín. Princíp takého vyjadrenia spočíva v eliminácií parametra $t$.

Ak $t$ ($t=2-x$) vyjadríme z prvej rovnice, tak
$$\begin{array}{ccc}
y&=&1+4(2-x)\\
z&=&-3+2(2-x)
\end{array}$$
Teda:
$$\begin{array}{ccc}
4x+y-9&=&0\\
2x+z-1&=&0
\end{array}
$$

Záver: Priamka $p$ je priečnicou roviny $\alpha: 4x+y-9=0$ a $\beta: 2x+z-1=0$.