Processing math: 100%

Thursday, February 10, 2022

Kužeľosečky

Príklad 1

Rozhodnite, či nasledujúca rovnica je analytickým vyjadrením elipsy
9x^2+25y^2-54x-100y-44=0.


Riešenie

Upravíme

\begin{array}{lcr} 9x^2+25y^2-54x-100y-44&=&0\\ 9(x^2-6x)+25(y^2-4y)&=&44\\ 9[(x-3)^2-9]+25[(y-2)^2-4]&=&44\\ 9(x-3)^2-81+25(y-2)^2-100&=&44\\ 9(x-3)^2+25(y-2)^2&=&225\\ \frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}&=&1 \end{array}


Rovnica  \frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-2)^2}{9}=1
je stredová rovnica elipsy so stredom v bode S=[3,2], dĺžkou hlavnej poloosi a=5, dĺžkou vedľajšej poloosi b=3 a excentricitou e^2=a^2-b^2, t.j. e=4.

Často sa k popisu elipsy uvádzajú aj súradnice významných bodov kužeľosečky. Pri elipse sú to
  • súradnice ohnísk sú F_1=[3+4,2] a F_2=[3-4,2], t.j. F_1=[7,2] a F_2=[-1,2],
  • súradnice hlavných vrcholov elipsy sú A=[3+5,2] a B=[3-5,2], t.j. A=[8,2] a B=[-2,2],
  • súradnice  vedľajších vrcholov elipsy sú C=[3,2+3] a D=[3,2-3], t.j. C=[3,5] a D=[3,-1].
Súčasťou riešenia je náčrt samotnej elipsy.

No comments:

Post a Comment