Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Thursday, February 10, 2022
Lineárne diferenciálne rovnice
Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientami
Príklad 7.
Nájdite partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+4y^{\prime}=\cos x +\sin x,$$
ktoré spĺňa začiatočnú podmienku
$y(0)=0$ a $y^{\prime}(0)=0$.
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia vyjadrená ako súčet všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu bez pravej strany a jedného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou
$y = c_1 + c_2 e - 4 x + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x , x \in R,c_1 , c_2 \in R$
Partikulárne riešenie určené začiatočnými podmienkami $y[0]=0,y'[0]=0$ nájdeme dosadením týchto podmienok do všeobecného riešenia y a jeho derivácie
$y = c_1 + c_2 e^{-4x} + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x$ $y' = -4c_2 e - 4 x + \frac{3 }{17} \cos x + \frac{5}{17} \sin x$
ReplyDeleteRiešme najprv homogénnu rovnicu pre $x \in R$,
$
y''+4y'= \sin x + \cos x
$
Charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice je kvadratická rovnica
$r^2+4r=0$
Diskriminant rovnice je
$D=(-4) \cdot 2=16$
korene rovnice sú $r_1=0, r_2=-4$, preto jej riešením je lineárna kombinácia funkcií
$y_1=1, y_2=e^{-4x}$
$y=c_1 + c_2e^{-4}, x \in R,c_1 , c_2 \in R$
Jedno riešenie diferenciálnej rovnice so špeciálnou pravou stranou je v tvare
$y_p=e^0(A \sin x + B \cos x)$, pretože $g(x) = \sin x + \cos x$
Hodnoty konštánt A a B určíme zderivovaním a dosadením do pôvodnej rovnice
$y_p'= A \cos x - B \sin x$
$y_p''= - A \sin x - B \cos x$
$- A \sin x - B \cos x + 4 ( A \cos x - B \sin x ) = \sin x + \cos x$
$ \sin x ( - A - 4 B ) + \cos x ( 4 A - B ) = \sin x + \cos x$
Zo sústavy rovníc nájdeme riešenie, koeficienty A a B
$- A - 4 B = 1$
$4 A - B = 1$
výraz $B=4 A-1$ z druhej rovnice dosadíme do prvej rovnice
$-A-4 \cdot (4A-1)=1$
$-17A=-3 $
$ A=\frac{3}{17}$
$B=4 \cdot \frac{3}{17}-1=-\frac{5}{17} $
preto partikulárne riešenie je
$y_p=\frac{3}{17}\sin x-\frac{5}{17}\cos x,x\in R.$
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia vyjadrená ako súčet všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu bez pravej strany a jedného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou
$y = c_1 + c_2 e - 4 x + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x , x \in R,c_1 , c_2 \in R$
Partikulárne riešenie určené začiatočnými podmienkami $y[0]=0,y'[0]=0$ nájdeme dosadením týchto podmienok do všeobecného riešenia y a jeho derivácie
$y = c_1 + c_2 e^{-4x} + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x$
$y' = -4c_2 e - 4 x + \frac{3 }{17} \cos x + \frac{5}{17} \sin x$
$0=c_1+c_2-\frac{5}{17}$
$0=4c_2+\frac{3}{17}$
$c_1=\frac{1}{4}$
$c_2=\frac{3}{68}$
Partikulárne riešenie má potom tvar
$y = \frac{1}{4} + \frac{3}{68} e^{-4x} + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x , x \in R,c_1 , c_2 \in R$