Lineárne diferenciálne rovnice

Thursday, February 10, 2022

Lineárne diferenciálne rovnice

Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientami

Príklad 7.

Nájdite partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice

$y^{\prime\prime}+4y^{\prime}=\cos x +\sin x,$
ktoré spĺňa začiatočnú podmienku

$y(0)=0$ a

$y^{\prime}(0)=0$ .

1 comment:

UnknownFebruary 12, 2018 at 6:51 AM

Riešme najprv homogénnu rovnicu pre $x \in R$ ,
$y''+4y'= \sin x + \cos x$

Charakteristická rovnica diferenciálnej rovnice je kvadratická rovnica

$r^2+4r=0$

Diskriminant rovnice je

$D=(-4) \cdot 2=16$

korene rovnice sú $r_1=0, r_2=-4$ , preto jej riešením je lineárna kombinácia funkcií

$y_1=1, y_2=e^{-4x}$

$y=c_1 + c_2e^{-4}, x \in R,c_1 , c_2 \in R$

Jedno riešenie diferenciálnej rovnice so špeciálnou pravou stranou je v tvare

$y_p=e^0(A \sin x + B \cos x)$ , pretože $g(x) = \sin x + \cos x$

Hodnoty konštánt A a B určíme zderivovaním a dosadením do pôvodnej rovnice

$y_p'= A \cos x - B \sin x$
$y_p''= - A \sin x - B \cos x$

$- A \sin x - B \cos x + 4 ( A \cos x - B \sin x ) = \sin x + \cos x$
$\sin x ( - A - 4 B ) + \cos x ( 4 A - B ) = \sin x + \cos x$

Zo sústavy rovníc nájdeme riešenie, koeficienty A a B

$- A - 4 B = 1$
$4 A - B = 1$

výraz $B=4 A-1$ z druhej rovnice dosadíme do prvej rovnice

$-A-4 \cdot (4A-1)=1$
$-17A=-3$

$A=\frac{3}{17}$
$B=4 \cdot \frac{3}{17}-1=-\frac{5}{17}$

preto partikulárne riešenie je

$y_p=\frac{3}{17}\sin x-\frac{5}{17}\cos x,x\in R.$

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou je funkcia vyjadrená ako súčet všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu bez pravej strany a jedného riešenia diferenciálnej rovnice 2. rádu s pravou stranou

$y = c_1 + c_2 e - 4 x + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x , x \in R,c_1 , c_2 \in R$

Partikulárne riešenie určené začiatočnými podmienkami $y[0]=0,y'[0]=0$ nájdeme dosadením týchto podmienok do všeobecného riešenia y a jeho derivácie

$y = c_1 + c_2 e^{-4x} + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x$
$y' = -4c_2 e - 4 x + \frac{3 }{17} \cos x + \frac{5}{17} \sin x$

$0=c_1+c_2-\frac{5}{17}$
$0=4c_2+\frac{3}{17}$
$c_1=\frac{1}{4}$
$c_2=\frac{3}{68}$

Partikulárne riešenie má potom tvar

$y = \frac{1}{4} + \frac{3}{68} e^{-4x} + \frac{3 }{17} \sin x - \frac{5}{17} \cos x , x \in R,c_1 , c_2 \in R$
ReplyDelete
Replies