Lineárne diferenciálne rovnice, Príklad 2

Lineárne diferenciálne rovnice

Príklad 2.

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0.$$

Riešenie:
Korene charakteristickej rovnice:
$$r^2-2r+1=0$$
sú

$r_1=r_2=1$.

Preto fundamentálny systém riešení má tvar

$y_1=e^{x}$ a $y_2=xe^{x}$.

Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany je
  $$y=c_1e^{x}+c_2xe^{x}.$$