Loading web-font TeX/Main/Regular

Thursday, March 13, 2014

Polárna sústava súradníc

Po zvolení polárnej súradnicovej sústavy v rovine a jednotky dĺžky môžeme každému bodu v rovine jednoznačne priradiť usporiadanú dvojicu reálnych čísel [\rho, \varphi], ktoré majú tento význam:
  • \rho je vzdialenosť bodu M od začiatku sústavy súradníc (veľkosť polohového vektora),
  • \varphi je veľkosť orientovaného uhla, ktorého vrchol je v začiatku SS, prvé rameno tvorí polárna os a druhé polpriamka PM (proti smeru hodinových ručičiek).


Konverzia súradníc z polárnej súradnicovej sústavy do pravouhlej súradnicovej sústavy je možná iba vtedy, ak sú obe sústavy pridružené. Teda
  • počiatok polárnej sústavy súradníc nech je aj počiatkom pravouhlej sústavy súradníc,
  • polára nech je kladnou časťou osi x.

Keďže súradnice bodu M sú zadané v polárnej súradnicovej sústave, daná je vzdialenosť bodu M od počiatku P a orientovaný uhol \varphi. Pri konverzii do pravouhlej sústavy súradníc je potrebné zistiť jednotlivé dĺžky odvesien v pravouhlom trojuholníku PM^{\prime}M, pričom dĺžka PM^{\prime} je zároveň prvou súradnicou bodu M v pravouhlej sústave súradníc a dĺžka M^{\prime}M je druhou súradnicou bodu M v pravouhlej sústave súradníc. 

Kosínus je v pravouhlom trojuholníku definovaný ako pomer priľahlej odvesny k prepone. 
\cos(\varphi)=\frac{y}{\rho}
Sínus je v pravouhlom trojuholníku definovaný ako pomer protiľahlej odvesny k prepone.
\sin(\varphi)=\frac{x}{\rho}
 

Z týchto vzťahov vidíme, že
x=\sin(\varphi)\cdot \rho
y=\cos(\varphi)\cdot \rho










No comments:

Post a Comment