Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie priamky v 3D

Príklad 2

Dané sú dve rôznobežné roviny $\alpha: x-y+z-5=0$ a $\beta: x+2y-7=0$. Nájdite parametrické vyjadrenie priamky $p$, ktorá je priesečnicou daných rovín.

Riešenie:

Zo všeobecných rovníc vieme určiť normálové vektory jednotlivých rovín. Normálový vektor roviny $\alpha$ je $\vec{n_{\alpha}}=(1,-1,1)$ a roviny $\beta$ je $\vec{n_{\beta}}=(1,2,0)$. Keďže priamka $p$ je priesečnicou týchto rovín, jej smerový vektor je kolmý na oba normálové vektory. Jeho súradnice určíme vektorovým súčinom $\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}$.

$$\vec{s_p}=\vec{n_{\alpha}}\times\vec{n_{\beta}}= \left|\begin{array}{rrr} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&1\\ 1&2&0 \end{array} \right|= -2\vec{i}+\vec{j}+3\vec{k}=(-2,1,3)$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $(-2,1,3)$.
Aby sme mohli napísať parametrické rovnice priamky v 3D potrebujeme zistiť súradnice bodu, ktorý patrí jednej a zároveň druhej rovine.

Nájsť taký bod znamená vyriešiť sústavu dvoch rovníc s troma neznámymi.
$$\begin{array}{ccc} x-y+z-5&=&0\\ x+2y-7&=&0 \end{array}$$
Táto sústava lineárnych rovníc má nekonečne veľa riešení. Jej riešenia sú v tvare usporiadaných trojíc a predstavujú jednotlivé body patriace priesečnici dvoch rovín, teda priamke $p$. K vyjadreniu parametrických rovníc priamky stačí zistiť súradnice jedného bodu, teda jedno z nekonečne veľa riešení sústavy rovníc.

Označme tento bod písmenom $K$.

Sústava rovníc má jednu voľnú premennú. Nech je to premenná $y$. Zvoľme za $y=0$, potom dostávame sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi 
$$\begin{array}{ccc} x+z-5&=&0\\ x-7&=&0 \end{array},$$
ktorá má riešenie $x=7$ a $z=-2$.
Súradnice hľadaného bodu $K=[7,0,-2]$.

Parametrické vyjadrenie priamky $p$ v 3D je
$$p:\begin{cases} x= 7-2t\\ y= 0+t\\ z= -2+3t, t\in\mathrm{R} \end{cases}$$

Analytická geometria v 3D 

Vyjadrenie priamky v 3D

Príklad 1

Nájdite všeobecné rovnice priamky $p$, ktorej parametrické rovnice sú:
$$p:\begin{cases} x= 2-t\\ y= 1+4t\\ z= -3+2t, t\in\mathrm{R} \end{cases}$$

Riešenie:

Všeobecná rovnica priamky v priestore (v 3D) neexistuje. Pozor v 2D existujú obe vyjadrenia priamky. 

Priamku je možné v priestore vyjadriť ako priesečnicu dvoch rôznobežných rovín. Práve o takéto vyjadrenie ide, ak je potrebné hľadať všeobecné rovnice priamky v 3D.

Dá sa povedať, že jednu priamku môžeme vyjadriť ako priesečnicu rôznych dvoch rovín. Princíp takého vyjadrenia spočíva v eliminácií parametra $t$.

Ak $t$ ($t=2-x$) vyjadríme z prvej rovnice, tak
$$\begin{array}{ccc} y&=&1+4(2-x)\\ z&=&-3+2(2-x) \end{array}$$
Teda:
$$\begin{array}{ccc} 4x+y-9&=&0\\ 2x+z-1&=&0 \end{array}$$

Záver: Priamka $p$ je priečnicou roviny $\alpha: 4x+y-9=0$ a $\beta: 2x+z-1=0$.

Analytická geometria v 3D 

Vzájomná poloha priamok

Príklad 2

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametricky. Z tohto vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,1,0)$ .
$$q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ .
Vidíme, že vektor  $\vec{s_p}=(1,1,0)$ nie je násobkom vektora $\vec{s_q}=(1,2,-1)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne nezávislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď. nižšie). 
• Ak sú priamky $p$ a $q$ mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá riešenie.

Chceme určiť prienik priamok $p$ a $q$. Tento prienik budeme hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne pre jednotlivé súradnice ($x$, $y$ a $z$).

$$\begin{array}{rcl} 2+t&=&s\\ t&=&2s\\ 3&=&2-s \end{array}$$

Sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice a pomocou nich nájdeme riešenie pre $t$ a $s$. Následne toto riešenie dosadíme za $t$ a $s$ do tretej (nepoužitej)  rovnice a ukážeme, či existuje riešenie.

Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to $s=-1$ a $t=-2$.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice $$2+(-2)=-1$$ dostávame, že $$0=-1,$$ čo nie je pravda.
To znamená, že sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. Teda priamky $p$ a $q$ sú mimobežné.

Ak sú priamky mimobežné je možne určiť ich vzdialenosť.

Iná úloha:
Vypočítajte vzdialenosť mimobežných priamok $p$ a $q$.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$

Jednou z priamok preložíme rovinu $\alpha$, ktorá je rovnobežná s druhou priamkou. Tak nech priamka $p$ patrí rovine $\alpha$ a nech rovina $\alpha$ je rovnobežné s priamkou $q$. Následne stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky $q$ a roviny $\alpha$.

Keďže priamka $p$ patrí rovine $\alpha$, jej smerový vektor je jedným zo smerových vektor hľadanej roviny. Priamka $q$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$, tak jej smerový vektor je druhým smerovým vektorom roviny $\alpha$.
Vektorovým súčinom vektorov $\vec{s_p}=(1,1,0)$ a $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ dostaneme normálový vektor roviny $\alpha$.

$$\vec{n}= \left|\begin{array}{rrr} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&0\\ 1&2&-1\\ \end{array} \right|= -\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(-1,1,1)$$

Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z+d=0$$

Bod $A=[2,0,3]$ patrí priamke $p$ a keďže celá priamka leží v rovine $\alpha$ je tento bod jedným z bodov roviny $\alpha$, teda
$\begin{array}{llr} A\in \alpha:&& -2+0+3+d&=0 \\ &&d&=-1 \end{array}$

Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z-1=0.$$

Keďže rovina $\alpha$ je rovnobežná s priamkou $q$, stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu tejto priamky od nájdenej roviny $\alpha$. Bod $B$ patrí priamke $q$. Z parametrického vyjadrenia priamky je možné určiť jeho súradnice. Bod $B=[0,0,2]$.

Použije vzťah $$d(M, \alpha)=\frac{|am_1+bm_2+cm_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},$$
kde $(a,b,c)$ sú súradnice normálového vektora roviny $\alpha$ a $M=[m_1,m_2,m_3]$ sú súradnice bodu, ktorého vzdialenosť od roviny $\alpha$ určujeme. 

V našom prípade
$$d(B, \alpha)=\frac{|2-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Záver: Priamky $p$ a $q$ sú mimobežné. Ich vzdialenosť je $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Analytická geometria v 3D 

Vzájomná poloha priamok

Príklad 1 

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$.
$$p:\begin{cases} x= 1+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametricky. Z tohto vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$p:\begin{cases} x= 1+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,1,0)$ .

$$q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ .
Vidíme, že vektor  $\vec{s_p}=(1,1,0)$ nie je násobkom vektora $\vec{s_q}=(1,2,-1)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne nezávislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď. nižšie). 
• Ak sú priamky $p$ a $q$ mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá riešenie.

Chceme určiť prienik priamok $p$ a $q$. Tento prienik budeme hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne pre jednotlivé súradnice ($x$, $y$ a $z$).

$$\begin{array}{lcr} 1+t&=&s\\ t&=&2s\\ 3&=&2-s \end{array}$$

Sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice a pomocou nich nájdeme riešenie pre $t$ a $s$. Následne toto riešenie dosadíme za $t$ a $s$ do tretej (nepoužitej)  rovnice a ukážeme, či existuje riešenie.

Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to $s=-1$ a $t=-2$.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice $$1+(-2)=-1$$ dostávame, že $$-1=-1.$$
To znamená, že sústava lineárnych rovníc má riešenie. Teda priamky $p$ a $q$ sú rôznobežné.

Hľadáme ich priesečník. Týmto priesečníkom je jediný bod. Označme ho $P$.  

Stačí dosadiť $t=-2$ do parametrických rovníc priamky $p$, alebo  $s=-1$ do parametrických rovníc priamky $q$.

$$\begin{array}{ccl} x&=& 1+(-2)\\ y&=&-2\\ z&= &3 \end{array}$$
Súradnice bodu $P=[-1,-2,3]$.

Polárna sústava súradníc

Po zvolení polárnej súradnicovej sústavy v rovine a jednotky dĺžky môžeme každému bodu v rovine jednoznačne priradiť usporiadanú dvojicu reálnych čísel $[\rho, \varphi]$, ktoré majú tento význam:

• $\rho$ je vzdialenosť bodu $M$ od začiatku sústavy súradníc (veľkosť polohového vektora),
• $\varphi$ je veľkosť orientovaného uhla, ktorého vrchol je v začiatku SS, prvé rameno tvorí polárna os a druhé polpriamka $PM$ (proti smeru hodinových ručičiek).

Konverzia súradníc z polárnej súradnicovej sústavy do pravouhlej súradnicovej sústavy je možná iba vtedy, ak sú obe sústavy pridružené. Teda

• počiatok polárnej sústavy súradníc nech je aj počiatkom pravouhlej sústavy súradníc,
• polára nech je kladnou časťou osi x.

Keďže súradnice bodu $M$ sú zadané v polárnej súradnicovej sústave, daná je vzdialenosť bodu $M$ od počiatku $P$ a orientovaný uhol $\varphi$. Pri konverzii do pravouhlej sústavy súradníc je potrebné zistiť jednotlivé dĺžky odvesien v pravouhlom trojuholníku $PM^{\prime}M$, pričom dĺžka $PM^{\prime}$ je zároveň prvou súradnicou bodu M v pravouhlej sústave súradníc a dĺžka $M^{\prime}M$ je druhou súradnicou bodu M v pravouhlej sústave súradníc. 

Kosínus je v pravouhlom trojuholníku definovaný ako pomer priľahlej odvesny k prepone. 

$$\cos(\varphi)=\frac{y}{\rho}$$

Sínus je v pravouhlom trojuholníku definovaný ako pomer protiľahlej odvesny k prepone.

$$\sin(\varphi)=\frac{x}{\rho}$$  

Z týchto vzťahov vidíme, že

$$x=\sin(\varphi)\cdot \rho$$

$$y=\cos(\varphi)\cdot \rho$$