Lineárne diferenciálne rovnice
Príklad 5.Nájdite partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+5y^{\prime}+6y=0,$$
ak sú dané nasledujúce začiatočné podmienky
$y(0)=1$ a $y^{\prime}(0)=-6$.
Riešenie:
Najprv je potrebné nájsť všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.
Korene charakteristickej rovnice:
$$r^2+5r+6=0$$
sú
$r_1=-2$ a $r_2=-3$.
Preto fundamentálny systém riešení má tvar
$y_1=e^{-2x}$ a $y_2=e^{-3x}$.
Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany je
$$y=c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x}.$$
Ďalej vypočítame koeficienty $c_1$ a $c_2$ tak, aby spĺňali začiatočné podmienky $y(0)=1$ a $y^{\prime}(0)=-6$.
K dosadeniu začiatočných podmienok je potrebné ešte vypočítať prvú deriváciu nájdeného všeobecného riešenia diferenciálenej rovnice
$$y=c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x},$$
$$y^{\prime}=-2c_1e^{-2x}-3c_2e^{-3x}.$$
Následne dosadíme podmienku $y(0)=1$ do riešenia $y=c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x}$ a dostávame rovnicu $$1=c_1\cdot 1+c_2\cdot 1$$
a podmienku $y^{\prime}(0)=-6$ do derivácie všeobecného riešenia $y^{\prime}=-2c_1e^{-2x}-3c_2e^{-3x}$ pričom dostávame rovnicu
$$-6=-2c_1-3c_2.$$
Konštanty $c_1$ a $c_2$ potom vypočítame z riešenia sústavy rovníc
$$\begin{array}{rcl}
1&=&c_1+c_2\\
-6&=&-2c_1-3c_2
\end{array}$$
Z prvej rovnice vyjadríme $c_1=1-c_2$ a toto vyjadrenie dosadíme do druhej rovnice a následne vypočítame $c_2$.
Teda $ -6=-2(1-c_2)-3c_2$ z toho $c_2=-3$. Dopočitame $c_1=4$.
Riešenie danej diferenciálnej rovnice s uvedenými začiatočnými podmienkami má tvar
$$y=4e^{-2x}-3e^{-3x}.$$
