Lineárne diferenciálne rovnice, Príklad 5

Lineárne diferenciálne rovnice

Príklad 5.

Nájdite partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+5y^{\prime}+6y=0,$$
ak sú dané nasledujúce začiatočné podmienky
$y(0)=1$ a $y^{\prime}(0)=-6$.

Riešenie:
Najprv je potrebné nájsť všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Korene charakteristickej rovnice:
$$r^2+5r+6=0$$
sú

$r_1=-2$ a $r_2=-3$.

Preto fundamentálny systém riešení má tvar

$y_1=e^{-2x}$ a $y_2=e^{-3x}$.

Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany je
  $$y=c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x}.$$

Ďalej vypočítame koeficienty $c_1$ a $c_2$ tak, aby spĺňali začiatočné podmienky $y(0)=1$ a $y^{\prime}(0)=-6$.

K dosadeniu začiatočných podmienok je potrebné ešte vypočítať prvú deriváciu nájdeného všeobecného riešenia diferenciálenej rovnice
  $$y=c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x},$$
  $$y^{\prime}=-2c_1e^{-2x}-3c_2e^{-3x}.$$

Následne dosadíme podmienku $y(0)=1$ do riešenia  $y=c_1e^{-2x}+c_2e^{-3x}$ a dostávame rovnicu $$1=c_1\cdot 1+c_2\cdot 1$$
a podmienku $y^{\prime}(0)=-6$ do derivácie všeobecného riešenia  $y^{\prime}=-2c_1e^{-2x}-3c_2e^{-3x}$ pričom dostávame rovnicu
  $$-6=-2c_1-3c_2.$$

Konštanty $c_1$ a $c_2$ potom vypočítame z riešenia sústavy rovníc
$$\begin{array}{rcl}    1&=&c_1+c_2\\  -6&=&-2c_1-3c_2 \end{array}$$

Z prvej rovnice vyjadríme $c_1=1-c_2$  a toto vyjadrenie dosadíme do druhej rovnice  a následne vypočítame $c_2$.

Teda $-6=-2(1-c_2)-3c_2$ z toho $c_2=-3$. Dopočitame $c_1=4$.

Riešenie danej diferenciálnej rovnice s uvedenými začiatočnými podmienkami má tvar
  $$y=4e^{-2x}-3e^{-3x}.$$

 

Lineárne diferenciálne rovnice, Príklad 3

Lineárne diferenciálne rovnice

Príklad 3.

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0.$$

Riešenie:
Korene charakteristickej rovnice:
$$r^2+2r+5=0$$
sú komplexne združené  a to

$r_1= -1+2i$ a $r_2=-1-2i$.

Preto fundamentálny systém riešení má tvar

$y_1=e^{-x}cos 2x$ a $y_2=e^{-x}sin 2x$.

Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany je
  $$y=e^{-x}(c_1cos 2x+c_2sin 2x).$$