Lineárne diferenciálne rovnice, Príklad 3

Lineárne diferenciálne rovnice

Príklad 3.

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+5y=0.$$

Riešenie:
Korene charakteristickej rovnice:
$$r^2+2r+5=0$$
sú komplexne združené  a to

$r_1= -1+2i$ a $r_2=-1-2i$.

Preto fundamentálny systém riešení má tvar

$y_1=e^{-x}cos 2x$ a $y_2=e^{-x}sin 2x$.

Všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice bez pravej strany je
  $$y=e^{-x}(c_1cos 2x+c_2sin 2x).$$