Analytická geometria v 3D 

Vzájomná poloha priamok

Príklad 2

Určte vzájomnú polohu priamok $p$ a $q$.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$

Riešenie

Priamky $p$ a $q$ sú dané parametricky. Z tohto vyjadrenia vieme priamo určiť súradnice jedného bodu, ktorý patrí priamke a súradnice smerového vektora priamky.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $p$ má súradnice $\vec{s_p}=(1,1,0)$ .
$$q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$
Smerový vektor priamky $q$  má súradnice $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ .
Vidíme, že vektor  $\vec{s_p}=(1,1,0)$ nie je násobkom vektora $\vec{s_q}=(1,2,-1)$.

Keďže vektory  $\vec{s_p}$ a  $\vec{s_q}$ sú lineárne nezávislé, priamky $p$ a $q$ môžu byť rôznobežné alebo mimobežné.

• Ak sú priamky $p$ a $q$ rôznobežné, tak prienikom týchto priamok je jeden spoločný bod. Teda sústava lineárnych rovníc má riešenie (viď. nižšie). 
• Ak sú priamky $p$ a $q$ mimobežné, tak nemajú žiaden spoločný bod priamky (ležia v iných rovinách). Sústava lineárnych rovníc nemá riešenie.

Chceme určiť prienik priamok $p$ a $q$. Tento prienik budeme hľadať tak, že vyriešime sústavu lineárnych rovníc.Táto sústava vznikne porovnaním pravých strán parametrických rovníc oboch priamok postupne pre jednotlivé súradnice ($x$, $y$ a $z$).

$$\begin{array}{rcl} 2+t&=&s\\ t&=&2s\\ 3&=&2-s \end{array}$$

Sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi riešime tak, že si vyberieme dve rovnice a pomocou nich nájdeme riešenie pre $t$ a $s$. Následne toto riešenie dosadíme za $t$ a $s$ do tretej (nepoužitej)  rovnice a ukážeme, či existuje riešenie.

Použijeme druhú a tretiu rovnicu, keďže z nich je riešenie ľahko viditeľné a to $s=-1$ a $t=-2$.
Dosadením týchto hodnôt do prevej rovnice $$2+(-2)=-1$$ dostávame, že $$0=-1,$$ čo nie je pravda.
To znamená, že sústava lineárnych rovníc nemá riešenie. Teda priamky $p$ a $q$ sú mimobežné.

Ak sú priamky mimobežné je možne určiť ich vzdialenosť.

Iná úloha:
Vypočítajte vzdialenosť mimobežných priamok $p$ a $q$.
$$p:\begin{cases} x= 2+t\\ y= t\\ z= 3, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases} q:\begin{cases} x= s\\ y= 2s\\ z= 2-s, s\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$

Jednou z priamok preložíme rovinu $\alpha$, ktorá je rovnobežná s druhou priamkou. Tak nech priamka $p$ patrí rovine $\alpha$ a nech rovina $\alpha$ je rovnobežné s priamkou $q$. Následne stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu priamky $q$ a roviny $\alpha$.

Keďže priamka $p$ patrí rovine $\alpha$, jej smerový vektor je jedným zo smerových vektor hľadanej roviny. Priamka $q$ je rovnobežná s rovinou $\alpha$, tak jej smerový vektor je druhým smerovým vektorom roviny $\alpha$.
Vektorovým súčinom vektorov $\vec{s_p}=(1,1,0)$ a $\vec{s_q}=(1,2,-1)$ dostaneme normálový vektor roviny $\alpha$.

$$\vec{n}= \left|\begin{array}{rrr} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&0\\ 1&2&-1\\ \end{array} \right|= -\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(-1,1,1)$$

Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z+d=0$$

Bod $A=[2,0,3]$ patrí priamke $p$ a keďže celá priamka leží v rovine $\alpha$ je tento bod jedným z bodov roviny $\alpha$, teda
$\begin{array}{llr} A\in \alpha:&& -2+0+3+d&=0 \\ &&d&=-1 \end{array}$

Rovina $\alpha$ má všeobecnú rovnicu
$$-x+y+z-1=0.$$

Keďže rovina $\alpha$ je rovnobežná s priamkou $q$, stačí určiť vzdialenosť ľubovoľného bodu tejto priamky od nájdenej roviny $\alpha$. Bod $B$ patrí priamke $q$. Z parametrického vyjadrenia priamky je možné určiť jeho súradnice. Bod $B=[0,0,2]$.

Použije vzťah $$d(M, \alpha)=\frac{|am_1+bm_2+cm_3+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},$$
kde $(a,b,c)$ sú súradnice normálového vektora roviny $\alpha$ a $M=[m_1,m_2,m_3]$ sú súradnice bodu, ktorého vzdialenosť od roviny $\alpha$ určujeme. 

V našom prípade
$$d(B, \alpha)=\frac{|2-1|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Záver: Priamky $p$ a $q$ sú mimobežné. Ich vzdialenosť je $\frac{\sqrt{3}}{3}$.