Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Friday, February 9, 2018
Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Lokálne extrémy funkcie
Príklad 3: Nájdite lokálne extrémy funkcie $$f(x,y)= 3x^2y+xy^2-6xy.$$
$$D_A= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 36 & 6 \\ 6 & 0 \\ \end{array} \right|=0-36<0$$ V bode A neexistuje extrém funkcie $f(x,y)$.
$$D_B= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 12 & 2 \\ 2 & 1.333 \\ \end{array} \right|=15,999-4>0$$ V bode B existuje extrém funkcie $f(x,y)$. Keďže 12>0 je v tomto bode lokálne minimum.
Vypočítame funkčnú hodnotu v stacionárnom bode B=[2/3;2], (dosadením hodnôt do predpisu)
$D(f)=\{[x,y] \in {R}x{R}\} $
ReplyDeleteVypočítame prvé derivácie podľa x a y:
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6xy - 6y + y^2$
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2xy - 6x + 3x^2$
Derivácie položíme rovne nule:
$6xy - 6y + y^2=0$
$2xy - 6x + 3x^2=0$
Pre: $6xy - 6y + y^2=0$
$y(6x - 6 + y)=0$
$y=-6x + 6 $
Dosadíme do predpisu a vypočítame koreňe:
$2x(-6x+6)-6x+3x^2 =0 $
$-12x^2+12x-6+3x^2 =0 $
$-92x^2+6x =0 $
$x(6-9x) =0 $
$x_1=0 $
$x_2=2/3 $
$x_1 $ a $x_2 $ dosadíme do $y=-6x + 6 $ a dostávame:
$y_1=6 $
$y_2=2 $
Získali sme stacionárne body A=[0;6] B=[2/3;2]
Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu:
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=6y$
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6x + 2y– 6$
$ \frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6x + 2y - 6$
$\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=2x $
Do predpisov funkcii (parciálne derivácie) dosadíme súradnice stacionárnych bodov a vypočítame tak funkčné hodnoty :
Pre (A):
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=36 $
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6$
$ \frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6 $
$\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=0 $
Pre (B):
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=12 $
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=2$
$ \frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=2 $
$\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=1.333 $
Vypočítame príslušne determinanty :
$$D_A= \left| \begin{array}{c@{\ }r}
36 & 6 \\
6 & 0 \\
\end{array} \right|=0-36<0$$
V bode A neexistuje extrém funkcie $f(x,y)$.
$$D_B= \left| \begin{array}{c@{\ }r}
12 & 2 \\
2 & 1.333 \\
\end{array} \right|=15,999-4>0$$
V bode B existuje extrém funkcie $f(x,y)$.
Keďže 12>0 je v tomto bode lokálne minimum.
Vypočítame funkčnú hodnotu v stacionárnom bode B=[2/3;2], (dosadením hodnôt do predpisu)
f(B)= -2.6667