Processing math: 0%

Friday, February 9, 2018

Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie

Funkcia viac premenných

Lokálne extrémy funkcie


Príklad 3: Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x,y)= 3x^2y+xy^2-6xy.

1 comment:

  1. D(f)=\{[x,y] \in {R}x{R}\}

    Vypočítame prvé derivácie podľa x a y:

    \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6xy - 6y + y^2

    \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2xy - 6x + 3x^2

    Derivácie položíme rovne nule:

    6xy - 6y + y^2=0

    2xy - 6x + 3x^2=0

    Pre: 6xy - 6y + y^2=0

    y(6x - 6 + y)=0

    y=-6x + 6

    Dosadíme do predpisu a vypočítame koreňe:

    2x(-6x+6)-6x+3x^2 =0

    -12x^2+12x-6+3x^2 =0

    -92x^2+6x =0

    x(6-9x) =0

    x_1=0

    x_2=2/3

    x_1 a x_2 dosadíme do y=-6x + 6 a dostávame:

    y_1=6

    y_2=2

    Získali sme stacionárne body A=[0;6] B=[2/3;2]


    Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu:

    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=6y

    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6x + 2y– 6

    \frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6x + 2y - 6

    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=2x


    Do predpisov funkcii (parciálne derivácie) dosadíme súradnice stacionárnych bodov a vypočítame tak funkčné hodnoty :

    Pre (A):

    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=36
    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6

    \frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6
    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=0


    Pre (B):

    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=12
    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=2

    \frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=2
    \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=1.333

    Vypočítame príslušne determinanty :

    D_A= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 36 & 6 \\ 6 & 0 \\ \end{array} \right|=0-36<0
    V bode A neexistuje extrém funkcie f(x,y).

    D_B= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 12 & 2 \\ 2 & 1.333 \\ \end{array} \right|=15,999-4>0
    V bode B existuje extrém funkcie f(x,y).
    Keďže 12>0 je v tomto bode lokálne minimum.

    Vypočítame funkčnú hodnotu v stacionárnom bode B=[2/3;2], (dosadením hodnôt do predpisu)

    f(B)= -2.6667

    ReplyDelete