Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Friday, February 9, 2018
Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Lokálne extrémy funkcie
Príklad 3: Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x,y)= 3x^2y+xy^2-6xy.
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6x + 2y– 6
\frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6x + 2y - 6
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=2x
Do predpisov funkcii (parciálne derivácie) dosadíme súradnice stacionárnych bodov a vypočítame tak funkčné hodnoty :
Pre (A):
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=36 \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6
\frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6 \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=0
Pre (B):
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=12 \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=2
\frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=2 \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=1.333
Vypočítame príslušne determinanty :
D_A= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 36 & 6 \\ 6 & 0 \\ \end{array} \right|=0-36<0 V bode A neexistuje extrém funkcie f(x,y).
D_B= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 12 & 2 \\ 2 & 1.333 \\ \end{array} \right|=15,999-4>0 V bode B existuje extrém funkcie f(x,y). Keďže 12>0 je v tomto bode lokálne minimum.
Vypočítame funkčnú hodnotu v stacionárnom bode B=[2/3;2], (dosadením hodnôt do predpisu)
D(f)=\{[x,y] \in {R}x{R}\}
ReplyDeleteVypočítame prvé derivácie podľa x a y:
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6xy - 6y + y^2
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2xy - 6x + 3x^2
Derivácie položíme rovne nule:
6xy - 6y + y^2=0
2xy - 6x + 3x^2=0
Pre: 6xy - 6y + y^2=0
y(6x - 6 + y)=0
y=-6x + 6
Dosadíme do predpisu a vypočítame koreňe:
2x(-6x+6)-6x+3x^2 =0
-12x^2+12x-6+3x^2 =0
-92x^2+6x =0
x(6-9x) =0
x_1=0
x_2=2/3
x_1 a x_2 dosadíme do y=-6x + 6 a dostávame:
y_1=6
y_2=2
Získali sme stacionárne body A=[0;6] B=[2/3;2]
Vypočítame parciálne derivácie druhého rádu:
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=6y
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6x + 2y– 6
\frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6x + 2y - 6
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=2x
Do predpisov funkcii (parciálne derivácie) dosadíme súradnice stacionárnych bodov a vypočítame tak funkčné hodnoty :
Pre (A):
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=36
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=6
\frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=6
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=0
Pre (B):
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=12
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=2
\frac{\partial ^2 f(y,x)}{\partial x \partial y}=2
\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=1.333
Vypočítame príslušne determinanty :
D_A= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 36 & 6 \\ 6 & 0 \\ \end{array} \right|=0-36<0
V bode A neexistuje extrém funkcie f(x,y).
D_B= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 12 & 2 \\ 2 & 1.333 \\ \end{array} \right|=15,999-4>0
V bode B existuje extrém funkcie f(x,y).
Keďže 12>0 je v tomto bode lokálne minimum.
Vypočítame funkčnú hodnotu v stacionárnom bode B=[2/3;2], (dosadením hodnôt do predpisu)
f(B)= -2.6667