Loading web-font TeX/Math/Italic

Friday, February 9, 2018

Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie

Funkcia viac premenných

Viazané extrémy funkcie


Príklad 3: Nájdite viazané extrémy funkcie f(x,y)= 2x^2+4y^2

na hraniciach oblasti M, ktorá je daná x^2+y^2 \leqq 9.

1 comment:

  1. Ide o rovnicu kružnice, z rovnice si vyjadrime y dostaneme tak 2 rovnice, jednu pre hornú a jednu pre dolnú polkružnicu.

    y_1= \sqrt[]{9-x^2}

    y_2= -\sqrt[]{9-x^2}


    Vyšetrenie extrému na väzbe y_1= \sqrt[]{9-x^2}
    Dosadíme y_1 do predpisu

    f(x,\sqrt[]{9-x^2})

    f(x; y) = 2x^2 + 4(\sqrt[]{9-x^2})^2 =

    = 2x^2 + 4(9-x^2)=

    = 2x^2 + 36-4*x^2=

    = -2x^2 + 36

    Vypočítame prvú deriváciu, položíme ju rovnú nule a následne určíme korene.

    f'=-4*x

    -4*x=0

    x=0

    Dosadíme x=0 do y_1= \sqrt[]{9-x^2} čím sme získali y_1=3

    Dostávame tak stacionárny bod [0,3]

    Do predpisu polkruznice f(x; y) = -2x^2 + 36 dosadíme hodnotu x.

    V bode f([0,3]) = (36>0 ) sa nachádza viazané lokálne maximum.



    Vyšetrenie extrému na väzbe y_2= -\sqrt[]{9-x^2}
    Dosadíme y_2 do predpisu

    f(x,-\sqrt[]{9-x^2})

    f(x; y) = 2x^2 + 4(-\sqrt[]{9-x^2})^2 =

    = 2x^2 + 4(-9-x^2)=

    = 2x^2 - 36-4*x^2=

    = -2x^2 - 36

    Vypočítame prvú deriváciu, položíme ju rovnú nule a následne určíme korene.

    f'=-4*x

    -4*x=0

    x=0

    Dosadíme x=0 do y_2=-\sqrt[]{9-x^2} čím sme získali y_2=-3
    Dostávame tak stacionárny bod [0,-3]

    Do predpisu polkruznice f(x; y) = -2x^2 - 36 dosadíme hodnotu x.

    V bode f([0,-3]) = (36>0 ) sa nachádza viazané lokálne maximum.

    ReplyDelete