Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Friday, February 9, 2018
Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Viazané extrémy funkcie
Príklad 3: Nájdite viazané extrémy funkcie f(x,y)= 2x^2+4y^2
na hraniciach oblasti M, ktorá je daná x^2+y^2 \leqq 9.
Ide o rovnicu kružnice, z rovnice si vyjadrime y dostaneme tak 2 rovnice, jednu pre hornú a jednu pre dolnú polkružnicu.
ReplyDeletey_1= \sqrt[]{9-x^2}
y_2= -\sqrt[]{9-x^2}
Vyšetrenie extrému na väzbe y_1= \sqrt[]{9-x^2}
Dosadíme y_1 do predpisu
f(x,\sqrt[]{9-x^2})
f(x; y) = 2x^2 + 4(\sqrt[]{9-x^2})^2 =
= 2x^2 + 4(9-x^2)=
= 2x^2 + 36-4*x^2=
= -2x^2 + 36
Vypočítame prvú deriváciu, položíme ju rovnú nule a následne určíme korene.
f'=-4*x
-4*x=0
x=0
Dosadíme x=0 do y_1= \sqrt[]{9-x^2} čím sme získali y_1=3
Dostávame tak stacionárny bod [0,3]
Do predpisu polkruznice f(x; y) = -2x^2 + 36 dosadíme hodnotu x.
V bode f([0,3]) = (36>0 ) sa nachádza viazané lokálne maximum.
Vyšetrenie extrému na väzbe y_2= -\sqrt[]{9-x^2}
Dosadíme y_2 do predpisu
f(x,-\sqrt[]{9-x^2})
f(x; y) = 2x^2 + 4(-\sqrt[]{9-x^2})^2 =
= 2x^2 + 4(-9-x^2)=
= 2x^2 - 36-4*x^2=
= -2x^2 - 36
Vypočítame prvú deriváciu, položíme ju rovnú nule a následne určíme korene.
f'=-4*x
-4*x=0
x=0
Dosadíme x=0 do y_2=-\sqrt[]{9-x^2} čím sme získali y_2=-3
Dostávame tak stacionárny bod [0,-3]
Do predpisu polkruznice f(x; y) = -2x^2 - 36 dosadíme hodnotu x.
V bode f([0,-3]) = (36>0 ) sa nachádza viazané lokálne maximum.