Friday, February 9, 2018

Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie

Funkcia viac premenných

Viazané extrémy funkcie


Príklad 3: Nájdite viazané extrémy funkcie $$f(x,y)= 2x^2+4y^2$$
na hraniciach oblasti $M$, ktorá je daná $$x^2+y^2 \leqq 9.$$
Posted by at

1 comment:

  1. UnknownFebruary 12, 2018 at 8:47 AM

    Ide o rovnicu kružnice, z rovnice si vyjadrime $y$ dostaneme tak 2 rovnice, jednu pre hornú a jednu pre dolnú polkružnicu.

    $ y_1= \sqrt[]{9-x^2} $

    $ y_2= -\sqrt[]{9-x^2} $


    Vyšetrenie extrému na väzbe $ y_1= \sqrt[]{9-x^2} $
    Dosadíme $y_1 $ do predpisu

    $f(x,\sqrt[]{9-x^2})$

    $f(x; y) = 2x^2 + 4(\sqrt[]{9-x^2})^2 =$

    $= 2x^2 + 4(9-x^2)=$

    $ = 2x^2 + 36-4*x^2=$

    $= -2x^2 + 36$

    Vypočítame prvú deriváciu, položíme ju rovnú nule a následne určíme korene.

    $f'=-4*x$

    $-4*x=0$

    $x=0$

    Dosadíme x=0 do $ y_1= \sqrt[]{9-x^2} $ čím sme získali $y_1=3$

    Dostávame tak stacionárny bod [0,3]

    Do predpisu polkruznice $f(x; y) = -2x^2 + 36$ dosadíme hodnotu x.

    V bode $f([0,3]) = (36>0 ) $ sa nachádza viazané lokálne maximum.



    Vyšetrenie extrému na väzbe $ y_2= -\sqrt[]{9-x^2} $
    Dosadíme $y_2 $ do predpisu

    $f(x,-\sqrt[]{9-x^2})$

    $f(x; y) = 2x^2 + 4(-\sqrt[]{9-x^2})^2 =$

    $= 2x^2 + 4(-9-x^2)=$

    $ = 2x^2 - 36-4*x^2=$

    $= -2x^2 - 36$

    Vypočítame prvú deriváciu, položíme ju rovnú nule a následne určíme korene.

    $f'=-4*x$

    $-4*x=0$

    $x=0$

    Dosadíme x=0 do $ y_2=-\sqrt[]{9-x^2} $ čím sme získali $y_2=-3$
    Dostávame tak stacionárny bod [0,-3]

    Do predpisu polkruznice $f(x; y) = -2x^2 - 36$ dosadíme hodnotu x.

    V bode $f([0,-3]) = (36>0 ) $ sa nachádza viazané lokálne maximum.

    ReplyDelete

Subscribe to: Post Comments (Atom)