Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Lokálne extrémy funkcie
Príklad 2: Nájdite lokálne extrémy funkcie $$f(x,y)= x^3+y^3-9xy-27.$$
$\begin{bmatrix} -2 & -9 \\ -9 & -54 \end{bmatrix} = -2.(-54)-(-9).(-9) = 27 > 0$ z toho vyplýva, že extrém sa tu nachádza $ f''_{x,x}(-3,-9) = -2 < 0 $ z toho vyplýva, že v bode $x_2,y_2$(-3,-9) sa nachadza lokálne maximum.
Funkcia: $f(x,y)=x^3+y^3-9xy-27$
ReplyDeleteVyjadrím prvé parciálne derivácie :
$f'_{x}=3x^2-9y$
$f'_{y}=3y^2-9x$
Prvé parcíalne derivácie položime rovné nule a vyriešim sústavu rovníc :
$ 3x^2-9y = 0$
$ 3y^2-9x = 0$ }
Vyjadrujeme z prvej rovnice y :
$ 3x^2 -9y = 0 $
$ y = -\frac{1}{3}x^2$
Dosadíme do druhej rovnice :
$ 3(-\frac{1}{3}x^2)^2 - 9x = 0 $
$ -\frac{1}{3}x^4 -9 x =0 $
Vybererieme x pred zátvorku :
$ x ( -\frac{1}{3}x^3-9) = 0 $
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = -3 $
Pre $x_1 :
3y-9.0 = 0 $ z toho vyplýva : $y_1 = 0 $
Pre $x_2 :
3y-9.(-3) = 0 $ z toho vyplýva : $y_2 = -9$
Vyjadrím druhé parciálne derivácie:
$ f''_{x,x} = 6x $
$ f''_{x,y} = -9 $
$ f''_{y,x} = -9 $
$ f''_{y,y} = 6y $
Pre $x_1,y_1$ platí :
$ f''_{x,x}(0,0) = 6.0 = 0 $
$ f''_{x,y}(0,0) = -9 $
$ f''_{y,x}(0,0) = -9 $
$ f''_{y,y}(0,0) = 6.0 = 0 $
$\begin{bmatrix} 0 & -9 \\ -9 & 0 \end{bmatrix} = 0 -81 = -81 < 0$ z toho vyplýva : extrém sa tu nenachádza
Pre $x_2,y_2$ platí :
$ f''_{x,x}(-3,-9) = 6.(-3) = -2 $
$ f''_{x,y}(-3,-9) = -9 $
$ f''_{y,x}(-3,-9) = -9 $
$ f''_{y,y}(-3,-9) = 6.(-9) = -54 $
$\begin{bmatrix} -2 & -9 \\ -9 & -54 \end{bmatrix} = -2.(-54)-(-9).(-9) = 27 > 0$ z toho vyplýva, že extrém sa tu nachádza
$ f''_{x,x}(-3,-9) = -2 < 0 $ z toho vyplýva, že v bode $x_2,y_2$(-3,-9) sa nachadza lokálne maximum.