Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Lokálne extrémy funkcie
Príklad 2: Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x,y)= x^3+y^3-9xy-27.
Vyjadrím prvé parciálne derivácie : f'_{x}=3x^2-9y f'_{y}=3y^2-9x
Prvé parcíalne derivácie položime rovné nule a vyriešim sústavu rovníc : 3x^2-9y = 0 3y^2-9x = 0 } Vyjadrujeme z prvej rovnice y : 3x^2 -9y = 0 y = -\frac{1}{3}x^2 Dosadíme do druhej rovnice : 3(-\frac{1}{3}x^2)^2 - 9x = 0 -\frac{1}{3}x^4 -9 x =0 Vybererieme x pred zátvorku : x ( -\frac{1}{3}x^3-9) = 0 x_1 = 0 x_2 = -3 Pre x_1 : 3y-9.0 = 0 z toho vyplýva : y_1 = 0 Pre x_2 : 3y-9.(-3) = 0 z toho vyplýva : y_2 = -9
Pre x_1,y_1 platí : f''_{x,x}(0,0) = 6.0 = 0 f''_{x,y}(0,0) = -9 f''_{y,x}(0,0) = -9 f''_{y,y}(0,0) = 6.0 = 0
\begin{bmatrix} 0 & -9 \\ -9 & 0 \end{bmatrix} = 0 -81 = -81 < 0 z toho vyplýva : extrém sa tu nenachádza
Pre x_2,y_2 platí : f''_{x,x}(-3,-9) = 6.(-3) = -2 f''_{x,y}(-3,-9) = -9 f''_{y,x}(-3,-9) = -9 f''_{y,y}(-3,-9) = 6.(-9) = -54
\begin{bmatrix} -2 & -9 \\ -9 & -54 \end{bmatrix} = -2.(-54)-(-9).(-9) = 27 > 0 z toho vyplýva, že extrém sa tu nachádza f''_{x,x}(-3,-9) = -2 < 0 z toho vyplýva, že v bode x_2,y_2(-3,-9) sa nachadza lokálne maximum.
Funkcia: f(x,y)=x^3+y^3-9xy-27
ReplyDeleteVyjadrím prvé parciálne derivácie :
f'_{x}=3x^2-9y
f'_{y}=3y^2-9x
Prvé parcíalne derivácie položime rovné nule a vyriešim sústavu rovníc :
3x^2-9y = 0
3y^2-9x = 0 }
Vyjadrujeme z prvej rovnice y :
3x^2 -9y = 0
y = -\frac{1}{3}x^2
Dosadíme do druhej rovnice :
3(-\frac{1}{3}x^2)^2 - 9x = 0
-\frac{1}{3}x^4 -9 x =0
Vybererieme x pred zátvorku :
x ( -\frac{1}{3}x^3-9) = 0
x_1 = 0
x_2 = -3
Pre x_1 : 3y-9.0 = 0 z toho vyplýva : y_1 = 0
Pre x_2 : 3y-9.(-3) = 0 z toho vyplýva : y_2 = -9
Vyjadrím druhé parciálne derivácie:
f''_{x,x} = 6x
f''_{x,y} = -9
f''_{y,x} = -9
f''_{y,y} = 6y
Pre x_1,y_1 platí :
f''_{x,x}(0,0) = 6.0 = 0
f''_{x,y}(0,0) = -9
f''_{y,x}(0,0) = -9
f''_{y,y}(0,0) = 6.0 = 0
\begin{bmatrix} 0 & -9 \\ -9 & 0 \end{bmatrix} = 0 -81 = -81 < 0 z toho vyplýva : extrém sa tu nenachádza
Pre x_2,y_2 platí :
f''_{x,x}(-3,-9) = 6.(-3) = -2
f''_{x,y}(-3,-9) = -9
f''_{y,x}(-3,-9) = -9
f''_{y,y}(-3,-9) = 6.(-9) = -54
\begin{bmatrix} -2 & -9 \\ -9 & -54 \end{bmatrix} = -2.(-54)-(-9).(-9) = 27 > 0 z toho vyplýva, že extrém sa tu nachádza
f''_{x,x}(-3,-9) = -2 < 0 z toho vyplýva, že v bode x_2,y_2(-3,-9) sa nachadza lokálne maximum.