Processing math: 100%

Monday, January 8, 2018

Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie

Funkcia viac premenných

 Lokálne extrémy funkcie


Príklad 2: Nájdite lokálne extrémy funkcie f(x,y)= x^3+y^3-9xy-27.

1 comment:

  1. Funkcia: f(x,y)=x^3+y^3-9xy-27

    Vyjadrím prvé parciálne derivácie :
    f'_{x}=3x^2-9y
    f'_{y}=3y^2-9x

    Prvé parcíalne derivácie položime rovné nule a vyriešim sústavu rovníc :
    3x^2-9y = 0
    3y^2-9x = 0 }
    Vyjadrujeme z prvej rovnice y :
    3x^2 -9y = 0
    y = -\frac{1}{3}x^2
    Dosadíme do druhej rovnice :
    3(-\frac{1}{3}x^2)^2 - 9x = 0
    -\frac{1}{3}x^4 -9 x =0
    Vybererieme x pred zátvorku :
    x ( -\frac{1}{3}x^3-9) = 0
    x_1 = 0
    x_2 = -3
    Pre x_1 : 3y-9.0 = 0 z toho vyplýva : y_1 = 0
    Pre x_2 : 3y-9.(-3) = 0 z toho vyplýva : y_2 = -9

    Vyjadrím druhé parciálne derivácie:
    f''_{x,x} = 6x
    f''_{x,y} = -9
    f''_{y,x} = -9
    f''_{y,y} = 6y

    Pre x_1,y_1 platí :
    f''_{x,x}(0,0) = 6.0 = 0
    f''_{x,y}(0,0) = -9
    f''_{y,x}(0,0) = -9
    f''_{y,y}(0,0) = 6.0 = 0

    \begin{bmatrix} 0 & -9 \\ -9 & 0 \end{bmatrix} = 0 -81 = -81 < 0 z toho vyplýva : extrém sa tu nenachádza


    Pre x_2,y_2 platí :
    f''_{x,x}(-3,-9) = 6.(-3) = -2
    f''_{x,y}(-3,-9) = -9
    f''_{y,x}(-3,-9) = -9
    f''_{y,y}(-3,-9) = 6.(-9) = -54

    \begin{bmatrix} -2 & -9 \\ -9 & -54 \end{bmatrix} = -2.(-54)-(-9).(-9) = 27 > 0 z toho vyplýva, že extrém sa tu nachádza
    f''_{x,x}(-3,-9) = -2 < 0 z toho vyplýva, že v bode x_2,y_2(-3,-9) sa nachadza lokálne maximum.

    ReplyDelete