Lineárne diferenciálne rovnice

Monday, January 8, 2018

Lineárne diferenciálne rovnice

Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientami

Príklad 6.

Nájdite partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice

$y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+5y=\cos 2x,$
ktoré spĺňa začiatočnú podmienku

$y(0)=0$ a

$y^{\prime}(0)=0$ .

1 comment:

UnknownFebruary 12, 2018 at 8:46 AM
$y''-4y'+5y=\cos 2x$
ZP: $y(0) = 0,y'(0) = 0$

Všeobecné riešenie homogénnej LDR :
$y''-4y'+5y= 0$

Charakteristická rovnica potom je :
$r^2-4r+5 = 0$
Po vyriešení kvadratickej rovnice sú korene komplexnými číslami :
$r_1=2+i$
$r_2=2-i$

Určujeme fundamentálny systém riešení :
$r_1=2+i$ z toho vyplýva : $y_1 = e^{2x}\cos x$
$y_2 = e^{2x}\sin x$

Všeobecné riešenie homogénnej LDR je :
$y_h = c_1e^{2x}\cos x+c_2e^{2x}\sin x$

Jedno partikulárne riešenie nehomogénnej LDR je :
$y''-4y'+5y=\cos 2x$

Pravú stranu upravíme nasledovne :
$g(x) = \cos 2x = e^{0x}(1*\cos 2x+0*\sin 2x)$

$α = 0, ß = 0 -> α +ß = 2i$
-> k = 0
-> lebo 2i nie je koreňom charakteristickej rovnice
P(x) = 1, Q(x)= 0
-> P*(x) = A, Q*(x) = B
-> lebo P(x) a Q(x) sú konštanty

Potom :
$y_p = x^0e^{0x}(A\cos 2x+B\sin 2x) = A\cos 2x+B\sin 2x$

Vyjadríme prvú a druhú deriváciu :
$y_p' = -2A\sin 2x+2B\cos 2x$
$y_p'' = -4A\cos 2x-4B\sin 2x$

Dosadíme do nehomogénnej LDR a upravíme :
$-4A\cos 2x-4B\sin 2x-4(-2A\sin 2x+2B\cos 2x)+5(A\cos 2x+B\sin 2x)=\cos 2x$
$(-4A-8B+5A)\cos x+(-4B+8A+5B)\sin 2x = \cos 2x$
$(A-8B)\cos 2x+(8A+B)\sin 2x = \cos 2x$

Porovnávame koeficienty pri sínusoch a kosínusoch :
- pri $\cos 2x$ : $A-8B=1$
- pri $\sin 2x$ : $8A+B=0$

Ak drúhu rovnicu vynásobime 8 a sčítame s prvou, dostaneme : $65A = 1 -> A =\frac{1}{65}$
po dosadení za A do druhej rovnice dostaneme $B = -\frac{8}{65}$

$y_p = \frac{1}{65}\cos 2x-\frac{8}{65}\sin 2x$

Všeobecné riešenie :
$y_v = c_1e^{2x}\cos x+c_2e^{2x}\sin x+\frac{1}{65}\cos 2x-\frac{8}{65}\sin 2x$

Pre hľadanie partikulárneho riešenia, je nutné vyjadriť deriváciu všeobecného riešenia :
$y'_v = 2c_1e^{2x}\cos x-c_1e^{2x}\sin x+2c_2e^{2x}\sin x+c_2e^{2x}\cos x-\frac{2}{65}\sin 2x- \frac{16}{65}\cos 2x$

Využijeme počiatočné podmienky, následné vyjardíme hodnoty jednotlivých výrazov a zaznamenávame len nenulové hodnoty :
$y(0)= 0 -> 0=c_1+\frac{1}{65} -> c_1=-\frac{1}{65}$
$y'(0)= 0 -> 0=2c_1+c_2-\frac{16}{65} -> 0=-\frac{2}{65}+c_2-\frac{16}{65} -> c_2 =\frac{18}{65}$

Partikuárne riešenie potom je:
$y_p=-\frac{1}{65}e^{2x}\cos x+\frac{18}{65}e^{2x}\sin x+\frac{1}{65}\cos 2x-\frac{8}{65}\sin 2x$
ReplyDelete
Replies