Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Lineárne diferenciálne rovnice
Lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientami
Príklad 6.
Nájdite partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice
$$y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+5y=\cos 2x,$$
ktoré spĺňa začiatočnú podmienku
$y(0)=0$ a $y^{\prime}(0)=0$.
$ α = 0, ß = 0 -> α +ß = 2i $ -> k = 0 -> lebo 2i nie je koreňom charakteristickej rovnice P(x) = 1, Q(x)= 0 -> P*(x) = A, Q*(x) = B -> lebo P(x) a Q(x) sú konštanty
Porovnávame koeficienty pri sínusoch a kosínusoch : - pri $\cos 2x$: $A-8B=1$ - pri $\sin 2x$: $8A+B=0$
Ak drúhu rovnicu vynásobime 8 a sčítame s prvou, dostaneme : $65A = 1 -> A =\frac{1}{65} $ po dosadení za A do druhej rovnice dostaneme $B = -\frac{8}{65} $
$ y''-4y'+5y=\cos 2x$
ReplyDeleteZP: $y(0) = 0,y'(0) = 0 $
Všeobecné riešenie homogénnej LDR :
$ y''-4y'+5y= 0 $
Charakteristická rovnica potom je :
$ r^2-4r+5 = 0 $
Po vyriešení kvadratickej rovnice sú korene komplexnými číslami :
$ r_1=2+i $
$ r_2=2-i $
Určujeme fundamentálny systém riešení :
$ r_1=2+i $ z toho vyplýva : $y_1 = e^{2x}\cos x $
$ y_2 = e^{2x}\sin x $
Všeobecné riešenie homogénnej LDR je :
$ y_h = c_1e^{2x}\cos x+c_2e^{2x}\sin x $
Jedno partikulárne riešenie nehomogénnej LDR je :
$ y''-4y'+5y=\cos 2x$
Pravú stranu upravíme nasledovne :
$ g(x) = \cos 2x = e^{0x}(1*\cos 2x+0*\sin 2x) $
$ α = 0, ß = 0 -> α +ß = 2i $
-> k = 0
-> lebo 2i nie je koreňom charakteristickej rovnice
P(x) = 1, Q(x)= 0
-> P*(x) = A, Q*(x) = B
-> lebo P(x) a Q(x) sú konštanty
Potom :
$ y_p = x^0e^{0x}(A\cos 2x+B\sin 2x) = A\cos 2x+B\sin 2x $
Vyjadríme prvú a druhú deriváciu :
$y_p' = -2A\sin 2x+2B\cos 2x $
$y_p'' = -4A\cos 2x-4B\sin 2x $
Dosadíme do nehomogénnej LDR a upravíme :
$-4A\cos 2x-4B\sin 2x-4(-2A\sin 2x+2B\cos 2x)+5(A\cos 2x+B\sin 2x)=\cos 2x $
$(-4A-8B+5A)\cos x+(-4B+8A+5B)\sin 2x = \cos 2x $
$(A-8B)\cos 2x+(8A+B)\sin 2x = \cos 2x $
Porovnávame koeficienty pri sínusoch a kosínusoch :
- pri $\cos 2x$: $A-8B=1$
- pri $\sin 2x$: $8A+B=0$
Ak drúhu rovnicu vynásobime 8 a sčítame s prvou, dostaneme : $65A = 1 -> A =\frac{1}{65} $
po dosadení za A do druhej rovnice dostaneme $B = -\frac{8}{65} $
$ y_p = \frac{1}{65}\cos 2x-\frac{8}{65}\sin 2x $
Všeobecné riešenie :
$ y_v = c_1e^{2x}\cos x+c_2e^{2x}\sin x+\frac{1}{65}\cos 2x-\frac{8}{65}\sin 2x$
Pre hľadanie partikulárneho riešenia, je nutné vyjadriť deriváciu všeobecného riešenia :
$ y'_v = 2c_1e^{2x}\cos x-c_1e^{2x}\sin x+2c_2e^{2x}\sin x+c_2e^{2x}\cos x-\frac{2}{65}\sin 2x- \frac{16}{65}\cos 2x $
Využijeme počiatočné podmienky, následné vyjardíme hodnoty jednotlivých výrazov a zaznamenávame len nenulové hodnoty :
$ y(0)= 0 -> 0=c_1+\frac{1}{65} -> c_1=-\frac{1}{65}$
$ y'(0)= 0 -> 0=2c_1+c_2-\frac{16}{65} -> 0=-\frac{2}{65}+c_2-\frac{16}{65} -> c_2 =\frac{18}{65} $
Partikuárne riešenie potom je:
$y_p=-\frac{1}{65}e^{2x}\cos x+\frac{18}{65}e^{2x}\sin x+\frac{1}{65}\cos 2x-\frac{8}{65}\sin 2x $