Processing math: 2%

Monday, January 8, 2018

Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie

Funkcia viac premenných

 Viazané extrémy funkcie


Príklad 2: Nájdite viazané extrémy funkcie f(x,y)= x^2+y^2-xy-x-y na hraniciach oblasti M, ktorá je daná  M=\{[x,y]: 0\leq x \leq 4, 0\leq y \leq 5\}.

2 comments:

  1. Funkcia: f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y

    M = \{[x,y]:0 ≤x ≤4,0≤y≤5 \}

    Picture 1.

    |AB|: y=0

    |AD|: x=0

    |BC|: x=4

    |CD|: x=5



    Vyšetrovanie extrému va väzbe |AB| :
    |AB|: y = 0
    f(x,0) = x^2 + 0^2 - x.0 - x - 0 = x^2 - x
    Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
    f' = 2x - 1
    2x - 1 = 0
    2x = 1
    x = \frac{1}{2}
    Vyjadrime druhú deriváciu :
    f'' = 2 > 0
    f = 2 > 0
    V bode : f(\frac{1}{2},0 ) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou - \frac{1}{4} .

    Vyšetrovanie extrému na väzbe |AD| :
    |AD|: x = 0
    f(0,y) = 0^2 + y^2 - 0.y - 0 - y = y^2 - y
    Vyjadríme prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
    f' = 2y - 1
    2y - 1 = 0
    2y = 1
    y = \frac{1}{2}
    Vyjadríme druhú deriváciu :
    f'' = 2 > 0
    V bode : f(0, \frac{1}{2}) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou - \frac{1}{4} .

    Vyšetrovanie extrému va väzbe |BC| x = 4 :
    |BC|: x = 4
    f(4,y) =4^2+y^2-4y-4-y = y^2 - 5y +12
    Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
    f' = 2y - 5
    2y - 5 = 0
    2y = 5
    y = \frac{5}{2}
    Vyjadrime druhú deriváciu :
    f'' = 2 > 0
    V bode : f( \frac{5}{2},4 ) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou 5,75 .

    Vyšetrovanie extrému va väzbe |CD| y = 5 :
    |CD|: y = 5
    f(x,5) = x^2+5^2-5x-x-5 = x^2-6x+20
    Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
    f' = 2x - 6
    2x - 6 = 0
    x = 3
    Vyjadrime druhú deriváciu :
    f'' = 2 > 0
    V bode : f( 3,5 ) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou 11 .

    ReplyDelete
  2. Picture 1:
    http://omega.tuke.sk/student/michal.marcin.2/Matematika/P1.png

    ReplyDelete