Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Viazané extrémy funkcie
Príklad 2: Nájdite viazané extrémy funkcie f(x,y)= x^2+y^2-xy-x-y na hraniciach oblasti M, ktorá je daná M=\{[x,y]: 0\leq x \leq 4, 0\leq y \leq 5\}.
Funkcia: f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y
ReplyDeleteM = \{[x,y]:0 ≤x ≤4,0≤y≤5 \}
Picture 1.
|AB|: y=0
|AD|: x=0
|BC|: x=4
|CD|: x=5
Vyšetrovanie extrému va väzbe |AB| :
|AB|: y = 0
f(x,0) = x^2 + 0^2 - x.0 - x - 0 = x^2 - x
Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
f' = 2x - 1
2x - 1 = 0
2x = 1
x = \frac{1}{2}
Vyjadrime druhú deriváciu :
f'' = 2 > 0
f = 2 > 0
V bode : f(\frac{1}{2},0 ) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou - \frac{1}{4} .
Vyšetrovanie extrému na väzbe |AD| :
|AD|: x = 0
f(0,y) = 0^2 + y^2 - 0.y - 0 - y = y^2 - y
Vyjadríme prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
f' = 2y - 1
2y - 1 = 0
2y = 1
y = \frac{1}{2}
Vyjadríme druhú deriváciu :
f'' = 2 > 0
V bode : f(0, \frac{1}{2}) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou - \frac{1}{4} .
Vyšetrovanie extrému va väzbe |BC| x = 4 :
|BC|: x = 4
f(4,y) =4^2+y^2-4y-4-y = y^2 - 5y +12
Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
f' = 2y - 5
2y - 5 = 0
2y = 5
y = \frac{5}{2}
Vyjadrime druhú deriváciu :
f'' = 2 > 0
V bode : f( \frac{5}{2},4 ) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou 5,75 .
Vyšetrovanie extrému va väzbe |CD| y = 5 :
|CD|: y = 5
f(x,5) = x^2+5^2-5x-x-5 = x^2-6x+20
Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
f' = 2x - 6
2x - 6 = 0
x = 3
Vyjadrime druhú deriváciu :
f'' = 2 > 0
V bode : f( 3,5 ) sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou 11 .
Picture 1:
ReplyDeletehttp://omega.tuke.sk/student/michal.marcin.2/Matematika/P1.png