Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Viazané extrémy funkcie
Príklad 2: Nájdite viazané extrémy funkcie $$f(x,y)= x^2+y^2-xy-x-y$$ na hraniciach oblasti $M$, ktorá je daná $M=\{[x,y]: 0\leq x \leq 4, 0\leq y \leq 5\}$.
Funkcia: $f(x,y)=x^2+y^2-xy-x-y$
ReplyDelete$M = \{[x,y]:0 ≤x ≤4,0≤y≤5 \}$
Picture 1.
|AB|: $y=0$
|AD|: $x=0$
|BC|: $x=4$
|CD|: $x=5$
Vyšetrovanie extrému va väzbe |AB| :
|AB|: y = 0
$ f(x,0) = x^2 + 0^2 - x.0 - x - 0 = x^2 - x $
Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
$ f' = 2x - 1 $
$ 2x - 1 = 0 $
$ 2x = 1 $
$ x = \frac{1}{2} $
Vyjadrime druhú deriváciu :
$ f'' = 2 > 0 $
$ f = 2 > 0 $
V bode : $ f(\frac{1}{2},0 )$ sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou $ - \frac{1}{4} $.
Vyšetrovanie extrému na väzbe |AD| :
|AD|: x = 0
$ f(0,y) = 0^2 + y^2 - 0.y - 0 - y = y^2 - y $
Vyjadríme prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
$ f' = 2y - 1 $
$ 2y - 1 = 0 $
$ 2y = 1 $
$ y = \frac{1}{2} $
Vyjadríme druhú deriváciu :
$ f'' = 2 > 0 $
V bode : $ f(0, \frac{1}{2})$ sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou $ - \frac{1}{4} $.
Vyšetrovanie extrému va väzbe |BC| x = 4 :
|BC|: x = 4
$ f(4,y) =4^2+y^2-4y-4-y = y^2 - 5y +12 $
Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
$ f' = 2y - 5 $
$ 2y - 5 = 0 $
$ 2y = 5 $
$ y = \frac{5}{2} $
Vyjadrime druhú deriváciu :
$ f'' = 2 > 0 $
V bode : $ f( \frac{5}{2},4 )$ sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou $ 5,75 $.
Vyšetrovanie extrému va väzbe |CD| y = 5 :
|CD|: y = 5
$ f(x,5) = x^2+5^2-5x-x-5 = x^2-6x+20 $
Vyjadrime prvú deriváciu položíme rovnú nule a vyriešime rovnicu :
$ f' = 2x - 6 $
$ 2x - 6 = 0 $
$ x = 3 $
Vyjadrime druhú deriváciu :
$ f'' = 2 > 0 $
V bode : $ f( 3,5 )$ sa nachádza viazané lokálne minimum s funkčnou hodnotou $ 11 $.
Picture 1:
ReplyDeletehttp://omega.tuke.sk/student/michal.marcin.2/Matematika/P1.png