Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Viazané extrémy funkcie
Príklad 1: Nájdite viazané extrémy funkcie f(x,y)= 2x^3-xy^2+5x^2+y^2
na hraniciach oblasti M, ktorá je ohraničená priamkami: y=2-x, y=x+1 a y=3x-3.
V bode [\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}] sa nachádza viazané lokálne minimum, lebo f''(x_1)=4\sqrt{31}>0 a v bode [\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}] sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo f''(x_2)=-4\sqrt{31}<0.
V bode [-\frac{4+\sqrt{13}}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{3}] sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo f''(x_1)=-16-2\sqrt{13}<0 a v bode [-\frac{4-\sqrt{13}}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{3}] sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo f''(x_2)=-16+2\sqrt{13}<0.
ReplyDeleteVyšetrenie extrému na väzbe y=2-x
f(x,2-x)
f=2x^3-x(2-x)^2+5x^2+(2-x)^2
f=x^3-10x^2-8x+4
Spravíme prvú deriváciu, položíme rovné nule a vypočítame korene
f'=3x^2+20x-8
x_1=\frac{-10+2\sqrt{31}}{3}
x_2=\frac{-10-2\sqrt{31}}{3}
Dopočítame y_1 a y_2 tak ,že do predpisu priamky y=2-x dosadíme za x hodnotu x_1 a x_2
y_1=2- \frac{-10+2\sqrt{31}}{3}
y_2=2- \frac{-10-2\sqrt{31}}{3}
y_1= \frac{16+2\sqrt{31}}{3}
y_2= \frac{16-2\sqrt{31}}{3}
Spravíme druhú deriváciu
f''=6x+20
Vypočítame fukčnú hodnotu pre x_1 a x_2
f''(x_1)=6(\frac{-10+2\sqrt{31}}{3})+20=4\sqrt{31}
f''(x_2 )=6(\frac{-10-2\sqrt{31}}{3})+20=-4\sqrt{31}
V bode [\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}] sa nachádza viazané lokálne minimum, lebo f''(x_1)=4\sqrt{31}>0 a v bode
[\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}] sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo f''(x_2)=-4\sqrt{31}<0.
Vyšetrenie extrému na väzbe y=x+1
f(x,x+1)
f=2x^3-x(x+1)^2+5x^2+(x+1)^2
f=x^3+4x^2+x+1
Spravíme prvú deriváciu, položíme rovné nule a vypočítame korene
f'=3x^2+8x-1
x_1=-\frac{4+\sqrt{13}}{3}
x_2=-\frac{4-\sqrt{13}}{3}
Dopočítame y_1 a y_2 tak ,že do predpisu priamky y=x+1 dosadíme za x hodnotu x_1 a x_2
y_1=-\frac{4+\sqrt{13}}{3}+1
y_2=-\frac{4-\sqrt{13}}{3}+1
y_1= \frac{1-\sqrt{13}}{3}
y_2= -\frac{1+\sqrt{13}}{3}
Spravíme druhú deriváciu
f''=6x+8
Vypočítame fukčnú hodnotu pre x_1 a x_2
f''(x_1)=6(-\frac{4+\sqrt{13}}{3})+8=-16-2\sqrt{13}
f''(x_2)=6(-\frac{4-\sqrt{13}}{3})+8=-16+2\sqrt{13}
V bode [-\frac{4+\sqrt{13}}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{3}] sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo f''(x_1)=-16-2\sqrt{13}<0 a v bode
[-\frac{4-\sqrt{13}}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{3}] sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo f''(x_2)=-16+2\sqrt{13}<0.
Vyšetrenie extrému na väzbe y=3x-3
f(x,3x-3)
f=2x^3-x(3x-3)^2+5x^2+(3x-3)^2
f=-7x^3+32x^2+x-27+9
Spravíme prvú deriváciu, položíme rovné nule a vypočítame korene
f'=-21x^2+64x-27
x_1=\frac{32+\sqrt{457}}{21}
x_2=\frac{32-\sqrt{457}}{21}
Dopočítame y_1 a y_2 tak ,že do predpisu priamky y=3x-3 dosadíme za x hodnotu x_1 a x_2
y_1=3(\frac{32+\sqrt{457}}{21})+3
y_2=3(\frac{32-\sqrt{457}}{21})+3
y_1= \frac{11+\sqrt{457}}{7}
y_2= \frac{11-\sqrt{457}}{7}
Spravíme druhú deriváciu
f''=-42x+64
Vypočítame fukčnú hodnotu pre x_1 a x_2
f''(x_1)=-42(\frac{34+\sqrt{457}}{21})+64=-42.7551
f''(x_2)=-42(\frac{34-\sqrt{457}}{21})+64=42.7551
V bode [\frac{32+\sqrt{457}}{21};\frac{11+\sqrt{457}}{7}] sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo f''(x_1)=-42.755<0 a v bode
[\frac{32-\sqrt{457}}{21};\frac{11-\sqrt{457}}{7}] sa nachádza viazané lokálne minimum, lebo f''(x_1)=42.755>0.