Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Funkcia viac premenných - viazané extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Viazané extrémy funkcie
Príklad 1: Nájdite viazané extrémy funkcie $$f(x,y)= 2x^3-xy^2+5x^2+y^2$$ na hraniciach oblasti $M$, ktorá je ohraničená priamkami: $y=2-x$, $y=x+1$ a $y=3x-3$.
V bode $[\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne minimum, lebo $f''(x_1)=4\sqrt{31}>0$ a v bode $[\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo $f''(x_2)=-4\sqrt{31}<0$.
V bode $[-\frac{4+\sqrt{13}}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo $f''(x_1)=-16-2\sqrt{13}<0$ a v bode $[-\frac{4-\sqrt{13}}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo $f''(x_2)=-16+2\sqrt{13}<0$.
ReplyDeleteVyšetrenie extrému na väzbe $y=2-x$
$f(x,2-x)$
$f=2x^3-x(2-x)^2+5x^2+(2-x)^2$
$f=x^3-10x^2-8x+4$
Spravíme prvú deriváciu, položíme rovné nule a vypočítame korene
$f'=3x^2+20x-8$
$x_1=\frac{-10+2\sqrt{31}}{3}$
$x_2=\frac{-10-2\sqrt{31}}{3}$
Dopočítame $y_1$ a $y_2$ tak ,že do predpisu priamky $y=2-x$ dosadíme za x hodnotu $x_1$ a $x_2$
$y_1=2- \frac{-10+2\sqrt{31}}{3}$
$y_2=2- \frac{-10-2\sqrt{31}}{3}$
$y_1= \frac{16+2\sqrt{31}}{3}$
$y_2= \frac{16-2\sqrt{31}}{3}$
Spravíme druhú deriváciu
$f''=6x+20$
Vypočítame fukčnú hodnotu pre $x_1$ a $x_2$
$f''(x_1)=6(\frac{-10+2\sqrt{31}}{3})+20=4\sqrt{31}$
$f''(x_2 )=6(\frac{-10-2\sqrt{31}}{3})+20=-4\sqrt{31}$
V bode $[\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne minimum, lebo $f''(x_1)=4\sqrt{31}>0$ a v bode
$[\frac{-10+2\sqrt{31}}{3};\frac{16+2\sqrt{31}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo $f''(x_2)=-4\sqrt{31}<0$.
Vyšetrenie extrému na väzbe $y=x+1$
$f(x,x+1)$
$f=2x^3-x(x+1)^2+5x^2+(x+1)^2$
$f=x^3+4x^2+x+1$
Spravíme prvú deriváciu, položíme rovné nule a vypočítame korene
$f'=3x^2+8x-1$
$x_1=-\frac{4+\sqrt{13}}{3}$
$x_2=-\frac{4-\sqrt{13}}{3}$
Dopočítame $y_1$ a $y_2$ tak ,že do predpisu priamky $y=x+1$ dosadíme za x hodnotu $x_1$ a $x_2$
$y_1=-\frac{4+\sqrt{13}}{3}+1$
$y_2=-\frac{4-\sqrt{13}}{3}+1$
$y_1= \frac{1-\sqrt{13}}{3}$
$y_2= -\frac{1+\sqrt{13}}{3}$
Spravíme druhú deriváciu
$f''=6x+8$
Vypočítame fukčnú hodnotu pre $x_1$ a $x_2$
$f''(x_1)=6(-\frac{4+\sqrt{13}}{3})+8=-16-2\sqrt{13}$
$f''(x_2)=6(-\frac{4-\sqrt{13}}{3})+8=-16+2\sqrt{13}$
V bode $[-\frac{4+\sqrt{13}}{3};\frac{1-\sqrt{13}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo $f''(x_1)=-16-2\sqrt{13}<0$ a v bode
$[-\frac{4-\sqrt{13}}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{3}]$ sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo $f''(x_2)=-16+2\sqrt{13}<0$.
Vyšetrenie extrému na väzbe $y=3x-3$
$f(x,3x-3)$
$f=2x^3-x(3x-3)^2+5x^2+(3x-3)^2$
$f=-7x^3+32x^2+x-27+9$
Spravíme prvú deriváciu, položíme rovné nule a vypočítame korene
$f'=-21x^2+64x-27$
$x_1=\frac{32+\sqrt{457}}{21}$
$x_2=\frac{32-\sqrt{457}}{21}$
Dopočítame $y_1$ a $y_2$ tak ,že do predpisu priamky $y=3x-3$ dosadíme za x hodnotu $x_1$ a $x_2$
$y_1=3(\frac{32+\sqrt{457}}{21})+3$
$y_2=3(\frac{32-\sqrt{457}}{21})+3$
$y_1= \frac{11+\sqrt{457}}{7}$
$y_2= \frac{11-\sqrt{457}}{7}$
Spravíme druhú deriváciu
$f''=-42x+64$
Vypočítame fukčnú hodnotu pre $x_1$ a $x_2$
$f''(x_1)=-42(\frac{34+\sqrt{457}}{21})+64=-42.7551$
$f''(x_2)=-42(\frac{34-\sqrt{457}}{21})+64=42.7551$
V bode $[\frac{32+\sqrt{457}}{21};\frac{11+\sqrt{457}}{7}]$ sa nachádza viazané lokálne maximum, lebo $f''(x_1)=-42.755<0$ a v bode
$[\frac{32-\sqrt{457}}{21};\frac{11-\sqrt{457}}{7}]$ sa nachádza viazané lokálne minimum, lebo $f''(x_1)=42.755>0$.