Matematika I (pre 2. stupeň) (FBERG TUKE) – riešené príklady: Funkcia viac premenných

Monday, January 8, 2018

Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie

Funkcia viac premenných

Lokálne extrémy funkcie

Príklad 1: Nájdite lokálne extrémy funkcie

$f(x,y)= x^4+y^4-x^2-2xy-y^2.$

1 comment:

UnknownFebruary 12, 2018 at 8:37 AM
funkcia
$f(x,y)=x^4+y^4-x^2-2xy-y^2$

Spravíme parciálnu deriváciu podľa x a y

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x^3-2x-2y$
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y^3-2y-2x$

Derivácie položíme rovne nule

$4x^3-2x-2y=0$
$4y^3-2y-2x=0$

Odpočítame druhú rovnicu od prvej

$4x^3-4y^3=0$ $/:4$
$x^3-y^3=0$
$x=y$

Dosadíme do prvej rovnice

$4x^3-2x-2x=0$
$4x^3-4x=0$
$4x(x-1)=0$

$4x=0$ alebo $x^2=1$

$x_1=0$
$x_2=1$
$x_3=-1$

Dostávame súradnice troch stacionárnych bodov

$A=[0;0]$
$B=[1;1]$
$C=[-1;-1]$

Nech bod $A = [a_1, a_2]$ je stacionárnym bodom funkcie $f(x, y)$ . Nech má
funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu.

Nech determinant

$D= \left| \begin{array}{c@{\ }r} \frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2} \ & \frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial ^2 f(A)}{\partial y \partial x} \ & \frac{\partial ^2 f(A)}{\partial y^2} \\ \end{array} \right|>0$

Potom má funkcia $f(x,y)$ v bode A lokálny extrém, a to:

1.lokálne minimum, ak súčastne platí $\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2}>0$
2.lokálne maximum, ak súčastne platí $\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2}<0$

Parciálne derivácie druhého rádu.

$\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=12x^2-2 \ \ \ \ \ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=-2 \\$
$\frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=12y^2-2$

Určíme jednotlivé determinanty pre príslušné stacionárne body

Bod $A=[0;0]$

$D_A= \left| \begin{array}{c@{\ }r} -2 & -2 \\ -2 & -2 \\ \end{array} \right|=4-4=0$

Determinant sa rovná nule $(D=0)$ , tak o lokálnom extréme nevieme
rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f(x,y) v okolí stacionárneho bodu
A inými metódami (napríklad: testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A).

Bod $B=[1;1]$

$D_B= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 10 & -2 \\ -2 & 10 \\ \end{array} \right|=100-4>0$

V bode B existuje extrém. Keďže $10>0$ , je v tomto bode lokálne minimum.

Bod $C=[-1;-1]$

$D_C= \left| \begin{array}{c@{\ }r} 10 & -2 \\ -2 & 10 \\ \end{array} \right|=100-4>0$

V bode B existuje extrém. Keďže $10>0$ , je v tomto bode lokálne minimum.

ReplyDelete
Replies