Riešené príklady k predmetu Matematika I (pre 2. stupeň štúdia) na Fakulte BERG Technickej univerzity v Košiciach (FBERG TUKE). Sú určené na podporu samostatnej práce študentov.
Monday, January 8, 2018
Funkcia viac premenných - lokálne extrémy funkcie
Funkcia viac premenných
Lokálne extrémy funkcie
Príklad 1: Nájdite lokálne extrémy funkcie $$f(x,y)= x^4+y^4-x^2-2xy-y^2.$$
Potom má funkcia $f(x,y)$ v bode A lokálny extrém, a to:
1.lokálne minimum, ak súčastne platí $\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2}>0$ 2.lokálne maximum, ak súčastne platí $\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2}<0$
Determinant sa rovná nule $(D=0)$, tak o lokálnom extréme nevieme rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f(x,y) v okolí stacionárneho bodu A inými metódami (napríklad: testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A).
funkcia
ReplyDelete$f(x,y)=x^4+y^4-x^2-2xy-y^2$
Spravíme parciálnu deriváciu podľa x a y
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=4x^3-2x-2y$
$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=4y^3-2y-2x$
Derivácie položíme rovne nule
$4x^3-2x-2y=0$
$4y^3-2y-2x=0$
Odpočítame druhú rovnicu od prvej
$4x^3-4y^3=0$ $/:4$
$x^3-y^3=0$
$x=y$
Dosadíme do prvej rovnice
$4x^3-2x-2x=0$
$4x^3-4x=0$
$4x(x-1)=0$
$4x=0$ alebo $x^2=1$
$x_1=0$
$x_2=1$
$x_3=-1$
Dostávame súradnice troch stacionárnych bodov
$A=[0;0]$
$B=[1;1]$
$C=[-1;-1]
$
Nech bod $A = [a_1, a_2]$ je stacionárnym bodom funkcie $f(x, y)$. Nech má
funkcia v okolí bodu A spojité parciálne derivácie prvého a druhého rádu.
Nech determinant
$$D= \left| \begin{array}{c@{\ }r}
\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2} \ & \frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial y \partial x} \ & \frac{\partial ^2 f(A)}{\partial y^2} \\
\end{array} \right|>0$$
Potom má funkcia $f(x,y)$ v bode A lokálny extrém, a to:
1.lokálne minimum, ak súčastne platí $\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2}>0$
2.lokálne maximum, ak súčastne platí $\frac{\partial ^2 f(A)}{\partial x^2}<0$
Parciálne derivácie druhého rádu.
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x^2}=12x^2-2 \ \ \ \ \ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=-2 \\$
$ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}=-2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial ^2 f(x,y)}{\partial y^2}=12y^2-2 $
Určíme jednotlivé determinanty pre príslušné stacionárne body
Bod $A=[0;0]$
$$D_A= \left| \begin{array}{c@{\ }r}
-2 & -2 \\
-2 & -2 \\
\end{array} \right|=4-4=0$$
Determinant sa rovná nule $(D=0)$, tak o lokálnom extréme nevieme
rozhodnúť. Je potrebné vyšetrovať funkciu f(x,y) v okolí stacionárneho bodu
A inými metódami (napríklad: testujeme funkčné hodnoty v okolí bodu A).
Bod $B=[1;1]$
$$D_B= \left| \begin{array}{c@{\ }r}
10 & -2 \\
-2 & 10 \\
\end{array} \right|=100-4>0$$
V bode B existuje extrém. Keďže $10>0$, je v tomto bode lokálne minimum.
Bod $C=[-1;-1]$
$$D_C= \left| \begin{array}{c@{\ }r}
10 & -2 \\
-2 & 10 \\
\end{array} \right|=100-4>0$$
V bode B existuje extrém. Keďže $10>0$, je v tomto bode lokálne minimum.