Analytická geometria v 3D

Príklad 1

Zistite, či body $A=[2,-1,-2]$, $B=[1,2,1]$, $C=[2,3,0]$ a  $D=[5,0,-6]$ ležia v jednej rovine.

Riešenie: Predpokladajme, že tieto body patria jednej rovine. Nech je to rovina $\alpha$, ktorej všeobecná rovnica je $$\alpha: ax+by+cz+d=0.$$

Ak bod $A$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $2a-b-2c+d=0$.
Ak bod $B$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $a+2b+c+d=0$.
Ak bod $C$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $2a+3b+0c+d=0$.
Ak bod $D$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $5a+0b-6c+d=0$.

Dostávame sústavu štyroch rovníc o štyroch neznámych (neznáme sú $a, b, c, d$).
$$\begin{array}{rcc} 2a-b-2c+d&=&0\\ a+2b+c+d=0&=&0\\ 2a+3b+0c+d&=&0\\ 5a+0b-6c+d&=&0 \end{array}$$

Rovina $\alpha$ existuje práve vtedy, ak daná sústava rovníc bude ma nenulové riešenie.

Riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.

$$\left( \begin{array}{rrrr|r} 2&-1&-2&1&0 \\ 1&2&1&1&0\\ 2&3&0&1&0 \\ 5&0&-6&1&0 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&1&1&0\\ 2&-1&-2&1&0 \\ 2&3&0&1&0 \\ 5&0&-6&1&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ -2R_1\\ -2R_1\\ -5R_1\\ \end{array} \sim$$
$$\left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&1&1&0\\ 0&-5&-4&-1&0 \\ 0&-1&-2&-1&0 \\ 0&-10&-11&-4&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \cdot(-1)\\ \cdot(-1)\\ \cdot(-1)\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrrl|r} 1&2&1&1&0\\ 0&1&2&1&0 \\ 0&5&4&1&0 \\ 0&10&11&4&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ -5R_2\\ -10R_2\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&1&1&0\\ 0&1&2&1&0 \\ 0&0&-6&-4&0 \\ 0&0&-9&-6&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \cdot \frac{(-1)}{2}\\ \cdot \frac{(-1)}{3}\\ \end{array} \sim$$
$$\left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&1&1&0\\ 0&1&2&1&0 \\ 0&0&3&2&0 \\ 0&0&3&2&0 \\ \end{array} \right) \begin{array}{r} \\ \\ \\ -R_3\\ \end{array} \sim \left( \begin{array}{rrrr|r} 1&2&1&1&0\\ 0&1&2&1&0 \\ 0&0&3&2&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ \end{array} \right)$$

Záver: Sústava lineárnych algebrických rovníc má nekonečne veľa riešení. Teda existuje rovina, ktorej patria body $A$, $B$, $C$ a $D$.

Iný spôsob riešenia:
Základná myšlienka druhého spôsobu spočíva v nájdení rovnice roviny, ktorej patria body $A$, $B$ a $C$ a overení, či takejto rovine patrí aj bod $D$.

Ľubovoľná rovina je daná troma bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Zvolme si tri z daných štyroch bodov. Nech sú to body  $A$, $B$ a $C$. Najprv overíme, či zvolené body $A$, $B$ a $C$ neležia na jednej priamke.

Priamka je geometrický útvar jednoznačné daný dvoma bodmi. Nech priamka $p$ je určená bodmi $A$ a $B$.
K parametrickému vyjadreniu priamky je potrebné poznať smerový vektor priamky a súradnice bodu, ktorý patrí priamke.

Smerový vektor tejto priamky je $\vec{s_p}=(B-A)=(-1, 3, 3)$.

$$p:\begin{cases} x= 2-t\\ y= -1+3t\\ z= -2+3t, t\in\mathrm{R}\\ \end{cases}$$

Ukážeme, že bod $C$ tejto priamke nepatrí.

$$\begin{array}{ccl} 2&=& 2-t\\ 3&=& -1+3t\\ 0&=& -2+3t \end{array}$$

Z prvej rovnice vyplýva, že $t=0$. Po dosadení do druhe rovnice dostávame: $3=-1$, čo neplatí.

Bodmi $A$, $B$ a $C$ môže by určená jedna rovnina $\alpha$, keďže neležia na jednej priamke.

Jeden smerový vektor je $\vec{AB}=(B-A)=(-1,3,3)=\vec{s_p}$, druhy smerový vektor tejto roviny je $\vec{AC}=(C-A)=(0,4,2)$. Vektorovým súčinom vektorov $\vec{AB}$ a $\vec{AC}$ dostávame vektor $\vec{n}$, ktorý je normálovým vektorom roviny $\alpha$.
$$\vec{n}= \vec{AB}\times \vec{AC}$$

$$\vec{n}= \left|\begin{array}{rrr} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ -1&3&3\\ 0&4&2\\ \end{array} \right|= -6\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}=(-6,2,-4)$$
Všeobecná rovnica roviny je daná rovnicou $ax+by+cz+d=0$.

Rovnica roviny $\alpha$ v našom prípade má rovnicu
$$\alpha: -6x+2y-4z+d=0.$$

Bod $A$ patrí rovine $\alpha$, teda
$\begin{array}{crr} A\in \alpha:&& -6\cdot 2+2\cdot (-1)-4\cdot(-2)+d&=0 \\ && -12-2+8+d&=0\\ &&d&=6 \end{array}$
Rovnica roviny $\alpha$ je
$$\alpha: -6x+2y-4z+6=0$$
Stačí už len overi, či bod $D$ patrí rovine $\alpha$:
$\begin{array}{crr} D\in \alpha:&& -6\cdot 5+2\cdot 0-4\cdot(-6)+6&=0 \\ && -30+0+24+6&=0\\ &&0&=0 \end{array}$

Bod $D$ patrí rovine $\alpha$.

Záver: Body $A$, $B$, $C$ a $D$ patria do jednej roviny, ktorej rovnica je $-6x+2y-4z+6=0$.

Určitý integrál

Geometrická interpretácia určitého integrálu

Nech funkcie $f(x)$ a $g(x)$ sú spojité na intervale $⟨a; b⟩$ a platí $g(x) ≤ f(x)$.
Plošný obsah $P$ množiny bodov v rovine, ktoré spĺňajú nerovnosti

$a\leq x\leq b$ a $g(x)\leq y \leq f(x)$

je daný vzťahom
$$\displaystyle P=\int\limits_a^b{\left(f(x)-g(x)\right)\ dx}.$$

Príklad 2.

Pomocou určitého integrálu vypočítajte obsah trojuholníka $ABC$, ak $A=[0,0]$, $B=[1,1]$ a $C=[3,-1]$.

Riešenie:

Zadanie úlohy na čiastočný náčrt jej riešenia je znázornený na sledujúcom obrázku:

Obsah trojuholníka vypočítame ako súčet obsahov dvoch menších trojuholníkov.
Teda $$P=P_1+P_2.$$

Body $A$ a $B$  patria jednej priamke, aj body $B$ a $C$ patria tiež jednej priamke a nakoniec aj  body $A$  a $C$ patria jednej priamke.

Vieme, že priamka je grafom lineárnej funkcie. 
Predpis takej lineárnej funkcie je $$y=kx+q,$$ kde $k$ a $q$ sú reálne čísla.

Body $A$ a $B$ spĺňajú túto rovnicu a teda platí
$$\begin{array}{rcr} 0&=&0k+q\\ 1&=&1k+q \end{array}$$

Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc je $q=0$ a $k=1$. Teda hľadaný predpis funkcie, ktorej patria body $A$ a $B$ je $y=x$. Označme túto funkciu symbolom $f$.
Teda $$f: y=x.$$

Aj body  $B$ a $C$ ležia na jednej priamke, ktorá je grafom lineárne funkcie. Teda body  $B$ a $C$ spĺňajú rovnicu $y=kx+q$ a  platí
$$\begin{array}{rcr} 1&=&1k+q\\ -1&=&3k+q \end{array}$$

Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc je $q=2$ a $k=-1$. Teda hľadaný predpis funkcie, ktorej patria body $B$ a $C$ je $y=-x+2$. Označme túto funkciu symbolom $g$.
Teda $$g: y=-x+2.$$
A napokon aj body $A$ a $C$ ležia na jednej priamke, teda ich súradnice spĺňajú predpis $y=kx+q$ a platí
$$\begin{array}{rcr} 0&=&0k+q\\ -1&=&3k+q \end{array}$$

Riešením tejto sústavy lineárnych rovníc je $q=0$ a $k=-\frac{1}{3}$. Teda hľadaný predpis funkcie, ktorej patria body $A$ a $C$ je $y=-\frac{1}{3}x$. Označme túto funkciu symbolom $h$.
Teda $$h: y=-\frac{1}{3}x.$$

Plocha $P_1$ je vytýčená funkciami $f$ a $h$, teda vypočítame ju

$$\displaystyle P_1=\int\limits_a^b{\left(f(x)-h(x)\right)\ dx},$$

teda

$$\displaystyle P_1=\int\limits_0^1{\left(x-\left(-\frac{1}{3}x\right)\right)\ dx}=\int\limits_0^1{\left(x+\frac{1}{3}x\right)\ dx}=\int\limits_0^1{\left(\frac{4x}{3}\right)\ dx}=\left[\frac{2x^2}{3}\right]^1_0=\frac{2}{3}.$$


Plocha $P_2$ je vytýčená funkciami $g$ a $h$, teda vypočítame ju

$$\displaystyle P_2=\int\limits_c^d{\left(g(x)-h(x)\right)\ dx},$$

teda

$$\displaystyle P_2=\int\limits_1^3{\left((-x+2)-\left(-\frac{1}{3}x\right)\right)\ dx}=\int\limits_1^3{\left((-x+2)+\frac{1}{3}x\right)\ dx}=$$

$$\int\limits_1^3{\left(-\frac{2x}{3}+2\right)\ dx}=\left[-\frac{x^2}{3}+2x\right]^3_1=-\frac{9}{3}+6+\frac{1}{3}-2=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.$$

Výsledný obsah trojuholníka ABC sa rovná súčtu obsahov $P_1$ a $P_2$.
Teda $$P=P_1+P_2$$
 čo je $$P=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2.$$