Analytická geometria v 3D
Príklad 1
Zistite, či body $ A=[2,-1,-2]$, $ B=[1,2,1]$, $ C=[2,3,0]$ a $D=[5,0,-6]$ ležia v jednej rovine.Riešenie: Predpokladajme, že tieto body patria jednej rovine. Nech je to rovina $\alpha$, ktorej všeobecná rovnica je $$\alpha: ax+by+cz+d=0.$$
Ak bod $A$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $2a-b-2c+d=0$.
Ak bod $B$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $a+2b+c+d=0$.
Ak bod $C$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $2a+3b+0c+d=0$.
Ak bod $D$ patrí rovine $\alpha$, tak spĺňa jej rovnicu t.j. $5a+0b-6c+d=0$.
Dostávame sústavu štyroch rovníc o štyroch neznámych (neznáme sú $a, b, c, d$).
$$\begin{array}{rcc}
2a-b-2c+d&=&0\\
a+2b+c+d=0&=&0\\
2a+3b+0c+d&=&0\\
5a+0b-6c+d&=&0
\end{array}$$
Rovina $\alpha$ existuje práve vtedy, ak daná sústava rovníc bude ma nenulové riešenie.
Riešime pomocou Gaussovej eliminačnej metódy.
$$
\left( \begin{array}{rrrr|r}
2&-1&-2&1&0 \\
1&2&1&1&0\\
2&3&0&1&0 \\
5&0&-6&1&0 \\
\end{array} \right)
\sim
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
2&-1&-2&1&0 \\
2&3&0&1&0 \\
5&0&-6&1&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
-2R_1\\
-2R_1\\
-5R_1\\
\end{array}
\sim
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&-5&-4&-1&0 \\
0&-1&-2&-1&0 \\
0&-10&-11&-4&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\cdot(-1)\\
\cdot(-1)\\
\cdot(-1)\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrrl|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&5&4&1&0 \\
0&10&11&4&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
-5R_2\\
-10R_2\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&0&-6&-4&0 \\
0&0&-9&-6&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\cdot \frac{(-1)}{2}\\
\cdot \frac{(-1)}{3}\\
\end{array}
\sim
$$
$$
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&0&3&2&0 \\
0&0&3&2&0 \\
\end{array} \right)
\begin{array}{r}
\\
\\
\\
-R_3\\
\end{array}
\sim
\left( \begin{array}{rrrr|r}
1&2&1&1&0\\
0&1&2&1&0 \\
0&0&3&2&0 \\
0&0&0&0&0 \\
\end{array} \right)
$$
Záver: Sústava lineárnych algebrických rovníc má nekonečne veľa riešení. Teda existuje rovina, ktorej patria body $A$, $B$, $C$ a $D$.
Iný spôsob riešenia:
Základná myšlienka druhého spôsobu spočíva v nájdení rovnice roviny, ktorej patria body $A$, $B$ a $C$ a overení, či takejto rovine patrí aj bod $D$.
Ľubovoľná rovina je daná troma bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Zvolme si tri z daných štyroch bodov. Nech sú to body $A$, $B$ a $C$. Najprv overíme, či zvolené body $A$, $B$ a $C$ neležia na jednej priamke.
Priamka je geometrický útvar jednoznačné daný dvoma bodmi. Nech priamka $p$ je určená bodmi $A$ a $B$.
K parametrickému vyjadreniu priamky je potrebné poznať smerový vektor priamky a súradnice bodu, ktorý patrí priamke.
Smerový vektor tejto priamky je $\vec{s_p}=(B-A)=(-1, 3, 3)$.
$$
p:\begin{cases}
x= 2-t\\
y= -1+3t\\
z= -2+3t, t\in\mathrm{R}\\
\end{cases}
$$
Ukážeme, že bod $C$ tejto priamke nepatrí.
$$\begin{array}{ccl}
2&=& 2-t\\
3&=& -1+3t\\
0&=& -2+3t
\end{array}$$
Z prvej rovnice vyplýva, že $t=0$. Po dosadení do druhe rovnice dostávame: $3=-1$, čo neplatí.
Bodmi $A$, $B$ a $C$ môže by určená jedna rovnina $\alpha$, keďže neležia na jednej priamke.
Jeden smerový vektor je $\vec{AB}=(B-A)=(-1,3,3)=\vec{s_p}$, druhy smerový vektor tejto roviny je $\vec{AC}=(C-A)=(0,4,2)$. Vektorovým súčinom vektorov $\vec{AB}$ a $\vec{AC}$ dostávame vektor $\vec{n}$, ktorý je normálovým vektorom roviny $\alpha$.
$$
\vec{n}= \vec{AB}\times \vec{AC}
$$
$$
\vec{n}=
\left|\begin{array}{rrr}
\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\
-1&3&3\\
0&4&2\\
\end{array} \right|= -6\vec{i}+2\vec{j}-4\vec{k}=(-6,2,-4)
$$
Všeobecná rovnica roviny je daná rovnicou $ax+by+cz+d=0$.
Rovnica roviny $\alpha$ v našom prípade má rovnicu
$$\alpha: -6x+2y-4z+d=0.$$
Bod $A$ patrí rovine $\alpha$, teda
$\begin{array}{crr}
A\in \alpha:&& -6\cdot 2+2\cdot (-1)-4\cdot(-2)+d&=0 \\
&& -12-2+8+d&=0\\
&&d&=6
\end{array}$
Rovnica roviny $\alpha$ je
$$
\alpha: -6x+2y-4z+6=0
$$
Stačí už len overi, či bod $D$ patrí rovine $\alpha$:
$\begin{array}{crr}
D\in \alpha:&& -6\cdot 5+2\cdot 0-4\cdot(-6)+6&=0 \\
&& -30+0+24+6&=0\\
&&0&=0
\end{array}$
Bod $D$ patrí rovine $\alpha$.
Záver: Body $A$, $B$, $C$ a $D$ patria do jednej roviny, ktorej rovnica je $-6x+2y-4z+6=0$.
